Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Точка пересечения медиан треугольника

Определение и точка пересечения медиан треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину противоположной стороны.
Точка пересечения медиан треугольника

Из каждой вершины треугольника можно опустить медиану.

Три медианы в треугольнике пересекаются в одной точке и эту точку называют центром тяжести треугольника.

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Отрезки прямых, соединяющих вершины треугольника с центром тяжести, делят треугольник на три равновеликих треугольника (т.е. на треугольники с одинаковой площадью).

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В треугольнике ABC медианы AL=BK=6 см пересекаются в точке O. Найти угол AOK, если AC=8 см.
Пример 1, точка пересечения медиан треугольника
Решение Поскольку медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, то можно найти длины отрезков

AO=4 см и OK=2 см,

а

    \[AK=\frac{1}{2} AC=4 cm \]

Рассмотрим треугольник AOK и запишем теорему косинусов для стороны AK:

    \[AK^{2} =AO^{2} +OK^{2} -2\cdot AO \cdot OK \cdot \cos \angle AOK;\]

и выразим

    \[\cos \angle AOK=\frac{AK^{2} -AO^{2} -OK^{2}}{-2\cdot AO\cdot OK} =\frac{16-16-4}{-2\cdot 4\cdot 2} =\frac{1}{4} \]

Тогда \angle AOK=\arccos \frac{1}{4}.

Ответ \angle AOK=\arccos \frac{1}{4}
ПРИМЕР 2
Задание Найти координаты точки пересечения медиан треугольника с вершинами A(1,2),\ B(2,3) и C(3,2).
Решение Рассмотрим треугольник ABC (рис. 1). Найдем координаты середин сторон AC и AB соответственно:

    \[N\left(\frac{1+3}{2} ,\frac{2+2}{2} \right)\; \Rightarrow N(2,2),\]

    \[L\left(\frac{1+2}{2} ,\frac{2+3}{2} \right)\; \Rightarrow L\left(1,5;2,5\right)\]

Найдем уравнения медиан CL и BN как уравнения прямых, проходящих через две заданные точки:

    \[\left(CL\right):\frac{x-3}{1,5-3} =\frac{y-2}{2,5-2} \Rightarrow -1,5(y-2)=0,5(x-3)\Rightarrow y=-\frac{x}{3} +3\]

    \[\left(BN\right):\frac{x-2}{2-2} =\frac{y-3}{2-3} \Rightarrow x=2\]

Точка пересечения этих прямых будет иметь координаты x=2 и y=-\frac{2}{3} +3=\frac{7}{3}, т.е. O\left(2,\frac{7}{3} \right).

Ответ O\left(2,\frac{7}{3} \right)