Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Серединный перпендикуляр треугольника

Определение и формулы для расчета серединного перпендикуляра треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Серединный перпендикуляр треугольника – это перпендикуляр, проведенный к середине стороны треугольника.

Серединный перпендикуляр треугольника

Три срединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром описанной окружности.

Точка пересечения серединных перпендикуляров в остроугольном треугольнике лежит внутри треугольника; в тупоугольном – вне треугольника; в прямоугольном – на середине гипотенузы.

Свойства срединных перпендикуляров треугольника:

  • Любая точка серединного перпендикуляра к стороне равноудалена от концов этой стороны.
  • Любая точка, равноудаленная от концов стороны, лежит на серединном перпендикуляре к ней.
  • Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В треугольнике ABC серединный перпендикуляр к стороне BC пересекает сторону AC в точке N. Найти AN, если BN=6 см, а AC=9 см.
Пример 1, серединный перпендикуляр треугольника
Решение Рассмотрим треугольник ABC и проведем в нем серединный перпендикуляр ON к стороне BC. В треугольнике BNC отрезок ON является медианой и высотой, значит, этот треугольник является равнобедренным, т.е.

    \[BN=NC=6 cm \]

Тогда

    \[AN=AC-NC=9-6=3 cm \]

Ответ AN=3 см
ПРИМЕР 2
Задание В треугольнике ABC из точки K стороны AC провели серединный перпендикуляр, который пересек сторону AB в точке P. На отрезке PK взяли точку O так, что OK=3 см. Найти периметр треугольника AOC, если AC=8 см.
Пример 2, серединный перпендикуляр треугольника
Решение В треугольнике ABC отрезок PK – серединный перпендикуляр, а значит

    \[AK=KC=\frac{1}{2} AC=4 cm \]

По свойству серединного перпендикуляра точка O равноудалена от концов стороны AC, т.е. AO=OC. Из прямоугольного треугольника AKO по теореме Пифагора найдем AO:

    \[AO=\sqrt{AK^{2} +OK^{2}} =\sqrt{16+9} =5 cm \]

Тогда периметр треугольника AOC будет равен

    \[P=AO+OC+AC=5+5+8=18 cm \]

Ответ P=18 см