Замечательные точки треугольника
Первая замечательная точка треугольника
Точка пересечения биссектрис (рис. 1).
Эта точка является центром вписанной в треугольник окружности и всегда находится внутри треугольника.
Вторая замечательная точка треугольника
Точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника (рис. 2)
Эта точка и есть центр описанной около треугольника окружности, находится в треугольниках с острыми углами, вне треугольника с тупым углом и на гипотенузе прямоугольного треугольника.
Третья замечательная точка треугольника
Точка пересечения медиан (рис. 3).
Точка пересечения медиан является центром тяжести треугольника.
Четвёртая замечательная точка треугольника
Точка пересечения высот треугольника (рис. 4).
Точку пересечения высот называется ортоцентром треугольника.
Примеры решения задач
Задание | В остроугольном треугольнике проведены медиана , биссектриса и высота ( лежит между и ) так, что . Найти отношение сторон треугольника . |
Решение | В треугольнике введем обозначения , тогда . Из свойств биссектрисы следует, что
Поскольку – высота, то в прямоугольных треугольниках и из теоремы Пифагора следует, что
или
откуда
Получаем, что
Следовательно, стороны треугольника относятся следующим образом:
|
Ответ |
Задание | Серединный перпендикуляр к стороне треугольника пересекает сторону в точке . Найти и , если см см.
|
Решение | В треугольнике проведем серединный перпендикуляр . Рассмотрим треугольник , в котором – высота и медиана, а, значит, он равнобедренный. Следовательно,
см Тогда см |
Ответ | см см |