Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Замечательные точки треугольника

Первая замечательная точка треугольника

Точка пересечения биссектрис (рис. 1).

Первая замечательная точка треугольника

Эта точка является центром вписанной в треугольник окружности и всегда находится внутри треугольника.

Вторая замечательная точка треугольника

Точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника (рис. 2)

Вторая замечательная точка треугольника

Эта точка и есть центр описанной около треугольника окружности, находится в треугольниках с острыми углами, вне треугольника с тупым углом и на гипотенузе прямоугольного треугольника.

Третья замечательная точка треугольника

Точка пересечения медиан (рис. 3).

Третья замечательная точка треугольника
ТЕОРЕМА
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Точка пересечения медиан является центром тяжести треугольника.

Четвёртая замечательная точка треугольника

Точка пересечения высот треугольника (рис. 4).

Четвёртая замечательная точка треугольника
ТЕОРЕМА
Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Точку пересечения высот называется ортоцентром треугольника.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В остроугольном треугольнике ABC проведены медиана AM, биссектриса AK и высота AH (H лежит между K и B) так, что MK=KH=HB. Найти отношение сторон треугольника ABC.
Решение В треугольнике ABC введем обозначения MK=KH=HB=x, тогда MC=3x. Из свойств биссектрисы следует, что

    \[\frac{AB}{AC} =\frac{BK}{KC} =\frac{2x}{4x} =\frac{1}{2} \]

Поскольку AH – высота, то в прямоугольных треугольниках AHB и AHC из теоремы Пифагора следует, что

    \[AH^2 =AB^2 -BH^2 =AC^2 -HC^2 \]

или

    \[AB^2 -x^2 =4AB^2 -25x^2 ,\]

откуда

    \[x=\frac{1}{2\sqrt{2} }AB \]

Получаем, что

    \[BC=6x=\frac{3\sqrt{2} }{2}AB \]

Следовательно, стороны треугольника ABC относятся следующим образом:

    \[AB:AC:BC=1:2:\frac{2\sqrt{2} }{3} \]

Ответ AB:AC:BC=1:2:\frac{2\sqrt{2} }{3}
ПРИМЕР 2
Задание Серединный перпендикуляр к стороне AC треугольника ABC пересекает сторону BC в точке D. Найти BD и DC, если AD=5 см,\ BC=9 см.
Решение В треугольнике ABC проведем серединный перпендикуляр KD. Рассмотрим треугольник ADC, в котором KD – высота и медиана, а, значит, он равнобедренный. Следовательно,

AD=DC=5 см

Тогда

BD=BC-DC=4 см

Ответ BD=4 см,\ DC=5 см