Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Средним пропорциональным двух чисел a и b называется такое число c, что

    \[c^{2} =ab\]

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике с катетами a и b высота h, проведенная к гипотенузе c, делит ее на отрезки a_{c} и b_{c}, которые называются проекциями катетов на гипотенузу.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

  • Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов:

        \[h^{2} =a_{c} \cdot b_{c} \]

  • Каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу:

        \[a^{2} =a_{c} \cdot c,\ b^{2} =b_{c} \cdot c\]

  • Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит гипотенузу в таком отношении, в каком находятся квадраты прилежащих катетов:

        \[\frac{a_{c}}{b_{c}} =\frac{a^{2}}{b^{2}} \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза BC=20 см. Найти длину высоты AH, если HC=15 см.
Решение Найдем длину отрезка BH:
Пример 1, пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

BH=BC-HC=20-15=5 см.

Поскольку BH и HC – проекции катетов AB и AC на гипотенузу, то можно записать следующее равенство:

    \[AH^{2} =BH \cdot HC=5\cdot 15=75,\]

откуда

    \[AH=\sqrt{75} =5\sqrt{3} cm \]

Ответ AH=5\sqrt{3} см
ПРИМЕР 2
Задание В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки 36 см и 64 см. Найти все стороны треугольника.
Решение Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (\angle A=90^{\circ}) (рис.1). Из вершины A опустим высоту AH, которая разделит гипотенузу BC на отрезки BH=36 см и CH=64 см, которые являются проекциями катетов на гипотенузу. Найдем длину гипотенузы:

    \[BC=BH+HC=36+64=100\ cm \]

Далее воспользуемся свойствами пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике и найдем

    \[AB^{2} =BH\cdot BC\ \Rightarrow \ AB=\sqrt{36\cdot 100} =6\cdot 10=60 cm ,\]

    \[AC^{2} =HC\cdot BC\ \Rightarrow \ AC=\sqrt{64\cdot 100} =8\cdot 10=80 cm \]

Ответ BC=100 см, AB=60 см, AC=80 см