Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Признаки равностороннего треугольника

Определение и признаки равностороннего треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
Равносторонний треугольник

Существует несколько признаков, по которым можно определить, что треугольник является равносторонним.

  • В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны 60^{\circ}:
  •     \[\angle A=\angle B=\angle C=60^{\circ} \]

  • В равностороннем треугольнике высоты, являются биссектрисами и медианами и пересекаются в одной точке, которая называется центром равностороннего треугольника.
  • Центр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружностей.

Для равностороннего треугольника справедливы следующие соотношения:

  • В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной.
  • В равностороннем треугольнике со стороной a радиус описанной окружности равен R=\frac{a\sqrt{3}}{3}, а радиус вписанной окружности – r=\frac{a\sqrt{3}}{6}.
  • В равностороннем треугольнике высоты совпадают с медианами и биссектрисами и равны

        \[h=m=l=\frac{a\sqrt{3}}{2} \]

  • Площадь равностороннего треугольника со стороной a равна

        \[S=\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В равностороннем треугольнике ABC провели биссектрису BK=6 cm. Найти сторону этого треугольника.
Признак равностороннего треугольника
Решение Так как треугольник ABC равносторонний, то его биссектриса, является высотой и медианой и связана со стороной треугольника следующим равенством

    \[BK=\frac{AB\sqrt{3}}{2} =6\]

Из последнего равенства выразим

    \[AB=\frac{2\cdot 6}{\sqrt{3}} =4\sqrt{3} cm \]

Ответ AB=4\sqrt{3} см
ПРИМЕР 2
Задание Известно, что радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольнике ABC, равен 5 см. Найти высоту треугольника.
Пример 2, признак равностороннего треугольника
Решение Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, связан со стороной треугольника равенством

    \[OM=\frac{BC\sqrt{3}}{6} \Rightarrow BC=\frac{6\cdot OM}{\sqrt{3}} =\frac{6\cdot 5}{\sqrt{3}} =10\sqrt{3} cm \]

А сторона треугольника связана с высотой следующим соотношением:

    \[AM=\frac{BC\sqrt{3}}{2} \]

Откуда

    \[AM=\frac{10\sqrt{3}\cdot  \sqrt{3}}{2} =\frac{30}{2} =15 cm \]

Ответ AM=15 см