Свойства равностороннего треугольника
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
Равносторонние треугольники обладают следующими свойствами:
- В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны :
- В равностороннем треугольнике высоты, биссектрисы, медианы и серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке, которая называется центром равностороннего треугольника.
- Центр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружностей.
- В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной.
- В равностороннем треугольнике со стороной радиус описанной окружности равен
- радиус вписанной окружности равен
- Высоты, совпадающие с медианами и биссектрисами, равны
- Площадь равностороннего треугольника равна
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
Задание | В равностороннем треугольнике провели высоту см. Найти сторону этого треугольника. |
Решение | Так как треугольник равносторонний, то его высота
Из последнего равенства выразим
|
Ответ | см |
ПРИМЕР 2
Задание | В равностороннем треугольнике медиана см. Найти радиус описанной окружности.
|
Решение | Радиус описанной окружности в равностороннем треугольнике вычисляется следующим образом:
а сторона треугольника связана с медианой следующим соотношением
Из этого следует, что
|
Ответ | см |