Закон притяжения (гравитации)

Гравитацией (тяготением) называют универсальный вид взаимодействия (притяжения) , который возникает между любыми видами материи.

Гравитационное взаимодействие подчиняется закону тяготения Ньютона (в классической нерелятивистской теории). В подавляющем большинстве случаев этот закон дает точное описание явлений. Но существуют и отклонения, например, вращение перигелия Меркурия на $42''$ в сто лет. Данный эффект описывает теория тяготения Эйнштейна (общая теория относительности).

Интенсивность сил гравитации мала. Они не имеют практического значения при взаимодействии между неастрономическими телами.

Природа гравитационного взаимодействия до конца не изучена. В соответствии с теорией Эйнштейна, силы тяготения связаны с изменением геометрических свойств пространства и времени при влиянии материи. Это иной механизм взаимодействия по сравнению с механизмом в квантовой теории поля, в этой теории взаимодействие объясняют обменом частиц. В связи с этим в настоящее время большие усилия предпринимаются для поиска так называемых гравитонов — частиц, которые могли бы осуществлять гравитационное взаимодействие. Если гравитоны существуют и являются частицами, то механизм гравитационного взаимодействия аналогичен другим видам взаимодействия. Если гравитоны — это вид материи, то гравитацию следует рассматривать, как искривление пространства — времени.

Формулировка закона гравитации

Две материальные точки, обладающие массами $m_1$ и $m_2,$ притягиваются друг к другу с силами ( $F$ ), которые пропорциональны произведению их масс и обратно пропорциональными квадрату расстояния ( $r$ ) между ними. В виде формулы данный закон можно представить как:

$F=\gamma \frac{m_1m_2}{r^2}\left(1\right),$

где $\gamma =6,67\cdot {10}^{-11}$ м^3/(кг с^2) — гравитационная постоянная (в СИ). Направлены силы взаимного притяжения по прямой, которая соединяет рассматриваемые материальные точки. Силу притяжения, с которой точка (2) действует на точку (1) (рис.1) в виде вектора можно записать:

${\overline{F}}_{12}=\gamma \frac{m_1m_2}{r^3}\overline{r}\left(2\right),$

где $\overline{r}$ — вектор, направленный от первой материальной точки ко второй, равный по модулю расстоянию между ними.

Закон притяжения для протяженных тел

Для нахождения силы гравитации, которая действует между телами, отличающимися от материальных точек, рассматриваемые тела представляют в виде совокупности элементарных масс ( $\Delta m$ ). Находят силу, с которой тело (2) притягивает элементарную массу номер $i$ тела (1). С этой целью векторно суммируют ${\overline{F}}_{i (2)}$ по всем значениям индекса $i$ :

${\overline{F}}_{i(2)}=\sum^n_{i=1}{\gamma }\frac{{\Delta m}_i{\Delta m}_l}{{r_{il}}^3}{\overline{r}}_{il}\left(3\right),$

где $r_{il}$ — расстояние между элементарными массами, $n$ — количество элементарных точек в теле (2). После нахождения суммы по всем значениям $l$ , получаем силу, с которой тело (2) притягивает тело (1):

${\overline{F}}_{12}=\sum^k_{l=1}{\sum^n_{i=1}{\gamma }\frac{{\Delta m}_i{\Delta m}_l}{{r_{il}}^3}}{\overline{r}}_{il}\left(4\right),$

где $k$ — количество материальных точек в теле (1). Количество слагаемых в выражении (4) равно $k\cdot n.$ Для получения точное величины силы притяжения, необходимо, чтобы элементарные массы стремились к нулю, и от суммы был совершён переход к интегрированию.

Сила притяжения, которая действует между двумя однородными телами, равна:

${\overline{F}}_{12}=\gamma \frac{m_1m_2}{r^3}\overline{r}\left(5\right),$

где $r$ — расстояние между центрами шаров.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Найдите отношение модулей сил электростатического отталкивания ( $F_q$ ) и гравитационного притяжения, которые действуют между двумя электронами ( $F$ ).

Решение

Электроны можно считать материальными точками, поэтому модуль силы гравитации найдем как:

$F=\gamma \frac{m_em_e}{r^2}\left(1.1\right),$

где $\gamma =6,67\cdot {10}^{-11}$ м^3/(кг с^2), $m_e=9,1\cdot {10}^{-31}$ кг.

Кулоновская сила отталкивания, действующая между двумя электронами, может быть вычислена:

$F_q=\frac{{q_e}^2}{4\pi {\varepsilon }_0r^2}\left(1.2\right),$

где $q_e=1,6\cdot {10}^{-19}$ Кл, ${\varepsilon }_0=8,82\cdot {10}^{-12}$ Ф/м. Найдем отношение ( $\frac{F_q}{F_m}$ ):

$\frac{F_q}{F_m}=\frac{{q_e}^2}{4\pi {\varepsilon }_0r^2\gamma {m_e}^2}$

Поведем вычисления:

$\frac{F_q}{F_m}=\frac{{(1,6\cdot {10}^{-19})}^2}{4\pi \cdot 8,82\cdot {10}^{-12}\cdot 6,67\cdot {10}^{-11}\cdot {(9,1\cdot {10}^{-31})}^2}\approx {10}^{43}$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Получите выражение для силы притяжения, с которой действуют друг на друга два тонких стержня, расположенных вдоль одной прямой (рис.2), имеющих длины $l_1=2a$ , $l_2=2b$ .

Решение

Для наших стержней все элементарные силы притяжения будут коллинеарными. Векторное сложение можно заменить сложением модулей сил. Из рис.2 следует, что модуль силы, с которой элемент массы стержня ( $dx$ ) тела (1) взаимодействует с элементом $dy$ стержня (2):

$dF=\gamma \frac{{dm}_1dm_2}{({r-x+y)}^2}\left(2.1\right),$

где ${dm}_1=\frac{m_1}{2a}dx$ ; ${dm}_2=\frac{m_2}{2b}dy$ , $r$ — расстояния между центрами стержней. Возьмем интегралы по x и y:

$F=\int{dF=\gamma \frac{m_1m_2}{4ab}\int^a_{-a}{\int^b_{-b}{\frac{dxdy}{({r-x+y)}^2}}}}=\gamma \frac{m_1m_2}{4ab}{ln \left(\frac{r^2-{\left(b-a\right)}^2}{r^2-{\left(b+a\right)}^2}\right)\ }$

Ответ

$F=г\frac{m_1m_2}{4ab}{ln \left(\frac{r^2-{\left(b-a\right)}^2}{r^2-{\left(b+a\right)}^2}\right)\ }$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Закон притяжения (гравитации)

Формулировка закона гравитации

Закон притяжения для протяженных тел

Примеры решения задач