Закон Гука

Силы упругости появляются только тогда, когда тела деформируются. Эти силы определены деформацией, при этом силы упругости растут увеличиваются с ростом деформации. Деформации возникают потому, что разные части тела перемещаются по-разному. Если после прекращения действия деформирующей силы деформация исчезает, то такая деформация называется упругой. Мерой деформации может служить относительная деформация, которую определяют как отношение абсолютной деформации ( $\Delta x$ )к первоначальной величине, которая характеризует размер (или форму) тела ( $\frac{\Delta x}{x}$ ).

Формулировка закона Гука

Напряжение в результате упругой деформации ( $\sigma$ ) тела является пропорциональным относительной деформации. В виде формулы данный закон запишем как:

$\sigma =K\frac{\Delta x}{x}\left(1\right),$

где $\sigma =\frac{dF_{upr}}{dS}$ — физическая величина, равная силе упругости ( $F_{upr}$ ), которая приходится на единицу площади сечения тела (dS). $K$ — модуль упругости ( $\frac{1}{K}=k$ ) — коэффициент упругости.

Закон Гука применим в определённых пределах деформации, до тех пор пока не достигается предел упругости.

При рассмотрении нормального напряжения, при котором сила упругости ( $dF_{upr}$ ) направлена перпендикулярно площадке dS закон Гука можно представить в виде:

$F_{upr}=k\Delta x\left(2\right)$

Так, например, если растягивают (сжимают) пружину вдоль оси X закон Гука записывается в виде:

$F_x=k\Delta x\left(3\right),$

где $F_x$ — модуль проекции силы упругости; $k$ — коэффициент упругости пружины, $\Delta x$ — абсолютное удлинение пружины.

Сила упругости ( ${\overline{F}}_{upr}$ ), возникающая как следствие деформации пружины, направленна в сторону противоположную смещению частиц, тела, подвергнутого деформации.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Определите, какую работу следует совершить для того, чтобы сжать пружину на величину $\Delta x$ , если известно, что закон Гука выполняется, коэффициент упругости пружины равен k.

Решение

По определению работа будет равна:

$A=\int^{\Delta x}_0{{\overline{F}}_{upr}d\overline{x}=-\int^{\Delta x}_0{F_{upr}dx}(1.1)},$

где сила упругости и перемещение направлены в противоположные стороны. (рис.1).

По закону Гука и учитывая, что имеем дело со сжатием, получим:

$F_{upr}=-kx(1.2)$

Подставив правую часть выражения (1.2) в (1.1), имеем:

$A=-\int^{\Delta x}_0{-kxdx=k\frac{\Delta x^2}{2}}$

Ответ

$A=k\frac{\Delta x^2}{2}$

ПРИМЕР 2

Задание

Две пружины соединены последовательно, система подвешена вертикально и к нижнему концу пружины подвешен груз (рис.2). Жесткости пружин равны $k_1$ и $k_2$ . Считая, что массы пружин малы в сравнении с массой груза, найдите отношение потенциальных энергий пружин ( $\frac{E_{p1}}{E_{p2}}$ ).