Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Законы механики

Основные законы механики

К основным законам механики относят, прежде всего, законы Ньютона, при помощи который можно решить любую задачу классической механики. Закон гравитации.

Законы Ньютона

Если тело изолировано от любого внешнего воздействия, то оно покоится или движется прямолинейно и равномерно (закон инерции) (Первый закон Ньютона).

Данный закон рассматривают как обобщение эмпирических данных. Тело может покоиться или перемещаться с постоянной скоростью, если силы, которые действуют на него, взаимно компенсируются, но в таком случае, тело будет деформировано. Значит, если на тело не действуют силы (другие тела), то оно имеет определённую форму и размер.

Ускорение (\overline{a}), которое получает тело при воздействии на него силы, является прямо пропорциональным этой силе (\overline{F}) и обратно пропорционально массе тела (m):

    \[\overline{a}=\frac{\overline{F}}{m}\left(2\right)\]

Если на тело действует несколько сил, то в формуле (2) под \overline{F} понимают равнодействующую (векторную сумму) сил, приложенных к телу. Выражение (2) — это второй закон Ньютона. Иначе второй закон Ньютона можно представить как:

    \[\overline{F}=m\frac{d^2\overline{r}}{dt^2}\left(3\right),\]

где \overline{r} — радиус — вектор, который проведен от начала координат до точки нахождения рассматриваемого тела.

Каждая сила оказывает свое действие на тело, к которому приложена — это закон независимого действия сил.

Если одно тело действует на другое с некоторой силой {\overline{F}}_{12}, то всегда существует обратное воздействие, то есть второе тело действует на первое с силой {\overline{F}}_{21}, причем выполняется равенство:

    \[{\overline{F}}_{12}=-{\overline{F}}_{21}\left(4\right)\]

Для взаимодействующих тел выполняется отношение:

    \[\frac{a_1}{a_2}=\frac{m_2}{m_1}\left(5\right)\]

Законы Ньютона позволяют найти форму траектории тела, скорости и ускорения в разных точках траектории, если заданы скорости тела в начальной точке траектории и силы, которые действуют на тело в каждый момент времени (в каждой точке нахождения тела).

Закон гравитации

Две материальные точки притягиваются друг к другу с силой, которая прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

    \[\overline{F}=\gamma \frac{m_1m_2}{r^2}\overline{e}\left(6\right),\]

где \gamma — гравитационная постоянная; \overline{e} — единичный вектор, который имеет направление от одной материальной точки к другой.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Какова масса тела, если под воздействием силы F=1\ H оно перемещается равномерно и прямолинейно, так, что уравнение его движения имеет вид: s\left(t\right)=A-t+t^2? A=const .
Решение В соответствии со вторым законом Ньютона:

    \[\overline{F}=m\overline{a}\left(1.1\right)\]

Для прямолинейного движения уравнение (1.1) преобразуется к скалярному виду:

    \[F=ma=m\frac{d^2s}{dt^2}\left(1.2\right)\]

Используя уравнение движения (s(t)) из условий задачи получим:

    \[\frac{ds}{dt}=-1+2t; \frac{d^2s}{dt^2}=2\left(1.3\right)\]

Из выражений (1.2) и (1.3) следует:

    \[F=m\cdot 2\to m=\frac{F}{2}\]

Подставим численное значение силы, получим:

    \[m=\frac{1}{2}\left(kg\right)\]

Ответ m=0,5 кг
ПРИМЕР 2
Задание Какова первая космическая скорость (v_1), которую следует сообщить телу у поверхности Земли, для того, чтобы оно стало двигаться по круговой орбите вокруг Земли как ее спутник?
РешениеСделаем рисунок.
Пример на законы механики

По закону о гравитации сила взаимодействия между Землей и спутником равна:

    \[F=\gamma \frac{m_1m_2}{r^2}=\gamma \frac{m_1m_2}{R^2}\left(2.1\right),\]

где m_1 — масса Земли; m_2 — масса спутника; r — расстояние между телами. У поверхности Земли расстояние rравно радиусу Земли (R). Сила притяжения тела к Земле равна при этом:

    \[F=m_2g\left(2.2\right)\]

Если тело движется вокруг Земли по круговой орбите, сила гравитации является центростремительной, следовательно:

    \[F=\frac{m_2v^2_1}{R}\to v_1=\sqrt{\frac{FR}{m_2}}\left(2.4\right)\]

Применяя выражения (2.1) и (2.2) имеем:

    \[v_1=\sqrt{\frac{m_2gR}{m_2}}=\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{\gamma \frac{m_1m_2}{R^2}R}{m_2}}=\sqrt{\gamma \frac{m_1}{R}}\]

Вычислим первую космическую скорость, зная, что g=9,8\ \frac{m}{c^2}, Радиус Земли R=6,371\cdot {10}^6 м.:

    \[v_1=\sqrt{9,8\cdot 6,371\cdot {10}^6}=7,9\cdot {10}^3\left(\frac{m}{c}\right)\]

Ответ v_1=7,9 \cdot {10}^3\left(\frac{m}{c}\right)
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.