Вычитание векторов

Определение и правила вычитания векторов

Рассмотрим два вектора $\bar{a}$ и $\bar{b}$ (рис. 1).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Разностью двух векторов $\bar{a}$ и $\bar{b}$ называется такой третий вектор $\bar{c}$ , сумма которого с вектором $\bar{b}$ равна вектору $\bar{a}$ :

$\bar{a}-\bar{b}=\bar{c}\Leftrightarrow \bar{c}+\bar{b}=\bar{a}$

Если задан вектор $\bar{a}$ , то можно построить противоположный ему вектор $-\bar{a}$ , равный по длине, но противоположно направленный. Сумма противоположных векторов равна нулевому вектору:

$\bar{a}+\left(-\bar{a}\right)=\bar{0}$

Таким образом, разность $\bar{a}-\bar{b}$ можно записать в следующем виде:

$\bar{a}-\bar{b}=\bar{a}+\left(-\bar{b}\right)$

То есть разность двух векторов равна сумме уменьшаемого и вектора, противоположного вычитаемому.

Правило треугольника для разности векторов

Чтобы графически продемонстрировать разность векторов, необходимо отложить от произвольной точки вектор $\bar{a}$ , из его начала вектор $\bar{b}$ . Тогда вектор, начало которого совпадает с концом вектора $\bar{b}$ , а конец – с концом вектора $\bar{a}$ , и будет искомым вектором разности $\bar{a}-\bar{b}$ (рис. 2).

Правило параллелограмма разности векторов

Если два неколлинеарных вектора $\bar{a}$ и $\bar{b}$ имеют общее начало (рис. 3), то разностью этих вектор есть вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах $\bar{a}$ и $\bar{b}$ , причем начало этой диагонали совпадает с концом вектора $\bar{b}$ , а конец – с концом вектора $\bar{a}$ .

Если векторы $\bar{a}$ и $\bar{b}$ заданы своими координатами в некотором базисе: $\bar{a}=\left(a_{1} ;\; a_{2} \right),\ \bar{b}=\left(b_{1} ;\; b_{2} \right)$ , то, чтобы найти координаты их разности $\bar{a}-\bar{b}$ , необходимо от координат вектора $\bar{a}$ отнять соответствующие координаты вектора $\bar{b}$ :

$\bar{a}-\bar{b}=\left(a_{1} ;\; a_{2} \right)-\left(b_{1} ;\; b_{2} \right)=\left(a_{1} -b_{1} ;\; a_{2} -b_{2} \right)$

Примеры вычитания векторов

ПРИМЕР 1

Задание

Найти вектор $\bar{c}=2\bar{a}-3\bar{b}$ , если $\bar{a}=\left(2;\; -1\right)$ и $\bar{b}=\left(0;\; 2\right)$

Решение

Вначале найдем координаты векторов $2\bar{a}$ и $3\bar{b}$ . Для этого умножим каждую координату векторов $\bar{a}$ и $\bar{b}$ на два и три соответственно:

$2\bar{a}=2\cdot \left(2;\; -1\right)=\left(2\cdot 2;\; 2\cdot \left(-1\right)\right)=\left(4;\; -2\right);$

$3\bar{b}=3\cdot \left(0;\; 2\right)=\left(3\cdot 0;\; 3\cdot 2\right)=\left(0;\; 6\right)$

Тогда искомый вектор

$\bar{c}=2\bar{a}-3\bar{b}=\left(4;\; -2\right)-\left(0;\; 6\right)=\left(4-0;\; -2-6\right)=\left(4;\; -8\right)$

Ответ

$\bar{c}=\left(4;\; -8\right)$

ПРИМЕР 2

Задание

Найти координаты вектора $\overline{AB}-\overline{CD}$ , если $A\left(1;\; -1;\; 0\right)$ , $B\left(2;\; 3;\; -1\right)$ , $C\left(0;\; -1;\; 0\right)$ , $D\left(1;\; 0;\; 2\right)$

Решение

Вначале найдем координаты векторов $\overline{AB}$ и $\overline{CD}$ . Для этого от координат конца вектора (точки $B$ и $D$ ) необходимо отнять соответствующие координаты его начала (точки $A$ и $C$ соответственно):

$\overline{AB}=\left(2-1;\; 3-\left(-1\right);\; -1-0\right)=\left(1;\; 4;\; -1\right),$

$\overline{CD}=\left(1-0;\; 0-\left(-1\right);\; 2-0\right)=\left(1;\; 1;\; 2\right)$

Тогда для нахождения координат вектора разности $\overline{AB}-\overline{CD}$ , от координат вектора $\overline{AB}$ вычтем соответствующие координаты вектора $\overline{CD}$ :

$\overline{AB}-\overline{CD}=\left(1;\; 4;\; -1\right)-\left(1;\; 1;\; 2\right)=\left(1-1;\; 4-1;\; -1-2\right)=\left(0;\; 3;\; -3\right)$