Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Формулы векторов

1. Координаты вектора

Если вектор \overline{AB} задан координатами своих начала и конца: A\left(a_{1} ;\; a_{2} ;\; a_{3} \right),\; B\left(b_{1} ;\; b_{2} ;\; b_{3} \right), то его координаты равны разности соответствующих координат конца и начала:

    \[\overline{AB}=\left(b_{1} -a_{1} ;\; b_{2} -a_{2} ;\; b_{3} -a_{3} \right)\]

ПРИМЕР
Задание Найти координаты вектора \overline{AB}, если его начало – точка A\left(3;\; -1\right), а конец – точка B\left(0;\; 2\right)
Решение Чтобы найти координаты вектора, нужно от координат конца отнять соответствующие координаты начала этого вектора:

    \[\overline{AB}=\left(0-3;\; 2-\left(-1\right)\right)=\left(-3;\; 3\right)\]

Ответ \overline{AB}=\left(-3;\; 3\right)

2. Длина или модуль вектора

Если вектор \bar{a}=\left(a_{1} ;\; a_{2} ;\; a_{3} \right), то его длина равна корню квадратному из суммы квадратов координат:

    \[\left|\bar{a}\right|=\sqrt{a_{1}^{2} +a_{2}^{2} +a_{2}^{3} } \]

ПРИМЕР
Задание Найти модуль вектора \bar{a}=\left(3;\; 4\right)
Решение Модуль вектора равен корню квадратному из суммы его координат, тогда для рассматриваемого вектора имеем:

    \[\left|\bar{a}\right|=\sqrt{3^{2} +4^{2} } =\sqrt{9+16} =\sqrt{25} =5\]

Ответ \left|\bar{a}\right|=5

3. Сумма векторов

Если векторы \bar{a}=\left(a_{1} ;\; a_{2} ;\; a_{3} \right) и \bar{b}=\left(b_{1} ;\; b_{2} ;\; b_{3} \right) заданы своими координатами, то суммой этих векторов есть вектор, координаты которого равны сумме соответствующих координат векторов-слагаемых:

    \[\bar{c}=\bar{a}+\bar{b}=\left(a_{1} +b_{1} ;\; a_{2} +b_{2} ;\; a_{3} +b_{3} \right)\]

ПРИМЕР
Задание Найти сумму векторов \bar{a}=\left(3;\; 4;\; -1\right) и \bar{b}=\left(2;\; -1;\; 2\right)
Решение Чтобы найти сумму указанных векторов, прибавим их соответствующие координаты:

    \[\bar{a}+\bar{b}=\left(3;\; 4;\; -1\right)+\left(2;\; -1;\; 2\right)=\left(3+2;\; 4+\left(-1\right);\; -1+2\right)=\left(5;\; 3;\; 1\right)\]

Ответ \bar{a}+\bar{b}=\left(5;\; 3;\; 1\right)

4. Умножение вектора на число

Чтобы найти произведение вектора \bar{a}=\left(a_{1} ;\; a_{2} ;\; a_{3} \right) на некоторое число \lambda \ne 0, нужно каждую координату заданного вектора умножить на это число:

    \[\lambda \bar{a}=\left(\lambda a_{1} ;\; \lambda a_{2} ;\; \lambda a_{3} \right)\]

ПРИМЕР
Задание Найти вектор -2\bar{a}, если \bar{a}=\left(-1;\; 3\right)
Решение Для нахождения вектора -2\bar{a} умножим каждую координату вектора \bar{a}=\left(-1;\; 3\right) на \left(-2\right):

    \[-2\bar{a}=-2\cdot \left(-1;\; 3\right)=\left(-2\cdot \left(-1\right);\; -2\cdot 3\right)=\left(2;\; -6\right)\]

Ответ -2\bar{a}=\left(2;\; -6\right)

5. Скалярное произведение векторов

Если векторы \bar{a}=\left(a_{1} ;\; a_{2} ;\; a_{3} \right) и \bar{b}=\left(b_{1} ;\; b_{2} ;\; b_{3} \right) заданы своими координатами, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:

    \[\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=\bar{a}\cdot \bar{b}=a_{1} \cdot b_{1} +a_{2} \cdot b_{2} +a_{3} \cdot b_{3} \]

ПРИМЕР
Задание Найти скалярное произведение векторов \bar{a}=\left(0;\; -1\right) и \bar{b}=\left(2;\; 1\right)
Решение Скалярное произведение указанных векторов равно сумме произведений соответствующих координат векторов-сомножителей, то есть

    \[\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=0\cdot 2+\left(-1\right)\cdot 1=0-1=-1\]

Ответ \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=-1

6. Векторное произведение векторов

Если векторы \bar{a}=\left(a_{1} ;\; a_{2} ;\; a_{3} \right) и \bar{b}=\left(b_{1} ;\; b_{2} ;\; b_{3} \right) заданы своими координатами в некотором ортонормированном базисе \left\{\bar{i},\; \bar{j},\; \bar{k}\right\}, то их векторное произведение находится по формуле:

    \[\left[\bar{a},\; \bar{b}\right]=\bar{a}\times \bar{b}=\left|\begin{array}{ccc} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array}\right|\]

ПРИМЕР
Задание Найти векторное произведение векторов \bar{a}=\left(-1;\; 2;\; 0\right) и \bar{b}=\left(0;\; 2;\; 0\right)
Решение Искомое векторное произведение равно определителю

    \[\left[\bar{a},\; \bar{b}\right]=\left|\begin{array}{ccc} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{array}\right|\]

Раскладывая записанный определитель по первой строке, будем иметь:

    \[\left[\bar{a},\; \bar{b}\right]=\bar{i}\cdot \left(-1\right)^{1+1} \cdot \left|\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 2 & 0 \end{array}\right|+\bar{j}\cdot \left(-1\right)^{1+2} \cdot \left|\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right|+\bar{k}\cdot \left(-1\right)^{1+3} \cdot \left|\begin{array}{cc} -1 & 2 \\ 0 & 2 \end{array}\right|=\]

    \[=\bar{i}\cdot \left(2\cdot 0-2\cdot 0\right)-\bar{j}\cdot \left(-1\cdot 0-0\cdot 0\right)+\bar{k}\cdot \left(-1\cdot 2-0\cdot 2\right)=0\cdot \bar{i}-0\cdot \bar{j}-2\cdot \bar{k}=-2\bar{k}=\left(0;\; 0;\; -2\right)\]

Ответ \left[\bar{a},\; \bar{b}\right]=\left(0;\; 0;\; -2\right)

7. Смешанное произведение векторов

Если заданы три вектора \bar{a}=\left(a_{1} ;\; a_{2} ;\; a_{3} \right),\ \bar{b}=\left(b_{1} ;\; b_{2} ;\; b_{3} \right) и \bar{c}=\left(c_{1} ;\; c_{2} ;\; c_{3} \right), то их смешанное произведение равно определителю, по строкам которого записаны координаты этих векторов:

    \[\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=\left|\begin{array}{ccc} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|\]

Замечание. Обычно такой определитель вычисляется методом треугольников.

ПРИМЕР
Задание Найти смешанное произведение векторов \bar{a}=\left(1;\; 0;\; 2\right),\ \bar{b}=\left(0;\; -1;\; 1\right) и \bar{c}=\left(1;\; 0;\; 0\right)
Решение Для вычисления смешанного произведения указанных векторов, составим определитель, по строкам которого записаны их координаты:

    \[\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right|=\]

    \[=1\cdot \left(-1\right)\cdot 0+0\cdot 0\cdot 2+0\cdot 1\cdot 1-1\cdot \left(-1\right)\cdot 2-0\cdot 1\cdot 1-0\cdot 0\cdot 0=0+0+0+2-0-0=2\]

Ответ \left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=2

8. Угол между векторами

Косинус угла \varphi =\angle \left(\bar{a},\; \bar{b}\right) между двумя векторами \bar{a}=\left(a_{1} ;\; a_{2} ;\; a_{3} \right) и \bar{b}=\left(b_{1} ;\; b_{2} ;\; b_{3} \right), заданными своими координатами, равен частному скалярного произведения этих векторов и произведению их модулей:

    \[\cos \varphi =\frac{\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)}{\left|\bar{a}\right|\cdot \left|\bar{b}\right|} \]

ПРИМЕР
Задание Найти угол между векторами \bar{a}=\left(1;\; 1\right) и \bar{b}=\left(0;\; 1\right)
Решение Искомый угол вычисли по формуле:

    \[\cos \varphi =\frac{\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)}{\left|\bar{a}\right|\cdot \left|\bar{b}\right|} \Rightarrow \varphi =\arccos \frac{\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)}{\left|\bar{a}\right|\cdot \left|\bar{b}\right|} \]

То есть

    \[\varphi =\arccos \frac{1\cdot 0+1\cdot 1}{\sqrt{1^{2} +1^{2} } \cdot \sqrt{0^{2} +1^{2} } } =\arccos \frac{0+1}{\sqrt{1+1} \cdot \sqrt{0+1} } =\arccos \frac{1}{\sqrt{2} } = \]

    \[ =\arccos \frac{\sqrt{2} }{2} =\frac{\pi }{4} \]

Ответ \varphi =\frac{\pi }{4}

9. Проекция вектора на вектор

Проекция вектора \bar{a} на направление вектора \bar{b} равна отношение скалярного произведения этих векторов к модулю вектора \bar{b}:

    \[{\Pi \text{p}}_{\bar{b}} \bar{a}=\frac{\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)}{\left|\bar{b}\right|} \]

ПРИМЕР
Задание Найти проекцию вектора \bar{a}=\left(3;\; -1\right) на вектор \bar{b}=\left(4;\; 0\right).
Решение Искомая проекция вычисляется по формуле:

    \[{\Pi \text{p}}_{\bar{b}} \bar{a}=\frac{\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)}{\left|\bar{b}\right|} \]

Тогда

    \[{\Pi \text{p}}_{\bar{b}} \bar{a}=\frac{3\cdot 4+\left(-1\right)\cdot 0}{\sqrt{4^{2} +0^{2} } } =\frac{12-0}{\sqrt{16} } =\frac{12}{4} =3\]

Ответ {\Pi \text{p}}_{\bar{b}} \bar{a}=3
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.