Свойства скалярного произведения векторов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Скалярным произведением $\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)$ двух ненулевых векторов $\bar{a}$ и $\bar{b}$ называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла $\varphi =\angle \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)$ между ними:

$\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=\left|\bar{a}\right|\cdot \left|\bar{b}\right|\cdot \cos \varphi$

Замечание. Если хотя бы один из двух векторов нулевой, то их скалярное произведение равно нулю.

Свойства скалярного произведения векторов

1. Скалярное произведение вектора $\bar{a}$ самого на себя называется скалярным квадратом:

$\left(\bar{a},\; \bar{a}\right)=\bar{a}^{2}$

Скалярный квадрат $\bar{a}^{2}$ вектора $\bar{a}$ равен квадрату его модуля:

$\bar{a}^{2} =\left|\bar{a}\right|^{2}$

2. $\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=\left(\bar{b},\; \bar{a}\right)$ .

3. $\left(\lambda \bar{a},\; \bar{b}\right)=\lambda \cdot \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)$ .

4. $\left(\bar{a}+\bar{b},\; \bar{c}\right)=\left(\bar{a},\; \bar{c}\right)+\left(\bar{b},\; \bar{c}\right)$ .

5. Длина вектора $\bar{a}$ равна

$\left|\bar{a}\right|=\sqrt{\left(\bar{a},\; \bar{a}\right)}$

6. Величина угла $\varphi =\angle \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)$ (а точнее косинус этого угла) между ненулевыми векторами $\bar{a}$ и $\bar{b}$ равна частному скалярного произведения этих векторов и произведения их длин:

$\cos \varphi =\frac{\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)}{\left|\bar{a}\right|\cdot \left|\bar{b}\right|}$

7. Два ненулевых вектора $\bar{a}$ и $\bar{b}$ ортогональны (перпендикулярны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:

$\bar{a}\bot \bar{b}\Leftrightarrow \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=0$

8. Угол между двумя ненулевыми векторами $\bar{a}$ и $\bar{b}$ является острым тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно; и является тупым – когда скалярное произведение отрицательно.

9. Длина проекции вектора $\bar{a}$ на ось, образованную вектором $\bar{b}$ , равна скалярному произведению этих векторов, деленному на модуль вектора $\bar{b}$ :

${\Pi \text{p}}_{\bar{b}} \bar{a}=\frac{\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)}{\left|\bar{b}\right|}$

10. Если векторы $\bar{a}=\left(a_{1} ;\; a_{2} ;\; a_{3} \right)$ и $\bar{b}=\left(b_{1} ;\; b_{2} ;\; b_{3} \right)$ заданы своими координатами, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:

$\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=a_{1} \cdot b_{1} +a_{2} \cdot b_{2} +a_{3} \cdot b_{3}$

Примеры решения задач

ПРИМЕР

Задание

Найти модуль вектора $\bar{a}=\bar{p}+2\bar{q}$ , если $\left|\bar{p}\right|=\left|\bar{q}\right|=1,\; \angle \left(\bar{p},\; \bar{q}\right)=\frac{\pi }{3}$

Решение

Модуль вектора равен корню квадратному из скалярного квадрата этого вектора:

$\left|\bar{a}\right|=\sqrt{\bar{a}^{2} } =\sqrt{\left(\bar{p}+2\bar{q}\right)^{2} } =\sqrt{\bar{p}^{2} +2\cdot \bar{p}\cdot \bar{q}+\bar{q}^{2} } =\sqrt{\left|\bar{p}\right|^{2} +2\cdot \left|\bar{p}\right|\cdot \left|\bar{q}\right|\cdot \cos \frac{\pi }{3} +\left|\bar{q}\right|^{2} } =$

$=\sqrt{1^{2} +2\cdot 1\cdot 1\cdot \frac{1}{2} +1^{2} } =\sqrt{1+1+1} =\sqrt{3}$

Ответ

$\left|\bar{a}\right|=\sqrt{3}$

ПРИМЕР

Задание	Найти скалярное произведение векторов $\bar{a}=\left(-1;\; 2\right)$ и $\bar{b}=\left(2;\; 3\right)$
Решение	Искомое скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат рассматриваемых векторов, то есть $\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=-1\cdot 2+2\cdot 3=-2+6=4$
Ответ	$\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=4$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Свойства скалярного произведения векторов

Свойства скалярного произведения векторов

Примеры решения задач