Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Умножение векторов

Для векторов существует три вида умножения векторов: скалярное и векторное произведение двух векторов и смешанное произведение трех векторов. Результатом первого и последнего есть число, а результатом векторного произведения – вектор.

Скалярное умножение векторов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Скалярным произведением \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=\bar{a}\cdot \bar{b} векторов\bar{a} и \bar{b} называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

    \[\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=\bar{a}\cdot \bar{b}=\left|\bar{a}\right|\cdot \left|\bar{b}\right|\cdot \cos \angle \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)\]

Замечание. Если один из векторов нулевой, то скалярное произведение равно нулю.

Замечание. Из определения скалярного произведения получаем, что угол (а точнее его косинус) между векторами-сомножителями вычисляется по формуле:

    \[\cos \angle \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=\frac{\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)}{\left|\bar{a}\right|\cdot \left|\bar{b}\right|} \]

Скалярное произведение \left(\bar{a},\; \bar{a}\right) вектора \bar{a} на самого себя называется скалярным квадратом и обозначается \bar{a}^{2}.

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:

    \[\bar{a}^{2} =\left|\bar{a}\right|^{2} \]

Тогда длина вектора \bar{a} может быть найдена по формуле:

    \[\left|\bar{a}\right|=\sqrt{\bar{a}^{2} } \]

Скалярное произведение двух векторов положительно, если угол между векторами острый; и отрицательно, если угол тупой.

Критерий ортогональности векторов. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда угол между ними прямой, то есть когда эти векторы ортогональны (перпендикулярны):

    \[\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=0\Leftrightarrow \bar{a}\bot \bar{b}\]

Если векторы \bar{a} и \bar{b} заданы своими координатами, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:

    \[\left. \begin{array}{l} {\bar{a}=\left(a_{1} ;\; a_{2} \right)} \\ {\bar{b}=\left(b_{1} ;\; b_{2} \right)} \end{array}\right\}\Rightarrow \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=a_{1} \cdot b_{1} +a_{2} \cdot b_{2} \]

ПРИМЕР
Задание Найти скалярное произведение векторов \bar{a}=\left(-1;\; 3\right),\ \bar{b}=\left(2;\; -1\right)
Решение Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:

    \[\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=-1\cdot 2+3\cdot \left(-1\right)=-2-3=-5\]

Ответ \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=-5

Векторное умножение векторов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Векторным произведением \left[\bar{a},\; \bar{b}\right]=\bar{a}\times \bar{b} векторов \bar{a} и \bar{b} называется вектор, ортогональный плоскости, образованной векторами \bar{a} и \bar{b}, и длина которого равна

    \[\left|\bar{a}\times \bar{b}\right|=\left|\bar{a}\right|\cdot \left|\bar{b}\right|\cdot \sin \angle \left(\bar{a},\bar{b}\right)\]

Замечание. Таким образом, длина (модуль) вектора \left[\bar{a},\; \bar{b}\right] численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах \bar{a} и \bar{b}:

    \[S_{parall} =\left|\bar{a}\times \bar{b}\right|\]

Критерий коллинеарности векторов. Два вектора \bar{a} и \bar{b} коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю:

    \[\left[\bar{a},\; \bar{b}\right]=0\Leftrightarrow \bar{a}{\rm ||}\bar{b}\]

Если векторы \bar{a}=\left(a_{1} ;\; a_{2} ;\; a_{3} \right) и \bar{b}=\left(b_{1} ;\; b_{2} ;\; b_{3} \right) заданы своими координатами в пространстве, то их векторное произведение определяется формулой:

    \[\left[\bar{a},\; \bar{b}\right]=\left|\begin{array}{ccc} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array}\right|\]

ПРИМЕР
Задание Найти векторное произведение векторов \bar{a}=\left(1;\; 2;\; 3\right),\ \bar{b}=\left(-2;\; 0;\; 4\right)
Решение Для нахождения векторного произведения указанных векторов составляем определитель:

    \[\left[\bar{a},\; \bar{b}\right]=\left|\begin{array}{ccc} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ -2 & 0 & 4 \end{array}\right|\]

Раскладывая его по элементам первой строки, будем иметь:

    \[\left[\bar{a},\; \bar{b}\right]=\left|\begin{array}{ccc} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ -2 & 0 & 4 \end{array}\right|\begin{array}{c} {\leftarrow } \\ {} \\ {} \end{array}=\]

    \[=\bar{i}\cdot \left(-1\right)^{1+1} \cdot \left|\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 0 & 4 \end{array}\right|+\bar{j}\cdot \left(-1\right)^{1+2} \cdot \left|\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ -2 & 4 \end{array}\right|+\bar{k}\cdot \left(-1\right)^{1+3} \cdot \left|\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -2 & 0 \end{array}\right|=\]

    \[=\bar{i}\cdot \left(2\cdot 4-0\cdot 3\right)-\bar{j}\cdot \left(1\cdot 4-\left(-2\right)\cdot 3\right)+\bar{k}\cdot \left(1\cdot 0-\left(-2\right)\cdot 2\right)=8\bar{i}-10\bar{j}+4\bar{k}=\left(8;\; -10;\; 4\right)\]

Ответ \left[\bar{a},\; \bar{b}\right]=\left(8;\; -10;\; 4\right)

Смешанное умножение векторов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Смешанным произведением \left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right) векторов \bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c} называется скалярное произведение вектора \bar{a} на векторное произведение векторов \bar{b} и \bar{c}:

    \[\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=\left(\bar{a},\; \left[\bar{b},\; \bar{c}\right]\right)\]

Геометрический смысл смешанного произведения. Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами \bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}:

    \[V_{parall} =\left|\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)\right|\]

Критерий компланарности векторов. Если три вектора компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

Если векторы \bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c} заданы в пространстве своими координатами: \bar{a}=\left(a_{1} ;\; a_{2} ;\; a_{3} \right),\ \bar{b}=\left(b_{1} ;\; b_{2} ;\; b_{3} \right),\ \bar{c}=\left(c_{1} ;\; c_{2} ;\; c_{3} \right), то их смешанное произведение можно вычислить по формуле:

    \[\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=\left|\begin{array}{ccc} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|\]

ПРИМЕР
Задание Исследовать тройку векторов \bar{a}=\left(1;\; 2;\; -1\right),\ \bar{b}=\left(3;\; 0;\; 2\right),\ \bar{c}=\left(4;\; 2;\; 1\right) на компланарность.
Решение Вычислим смешанное произведение заданных векторов. Для этого составим определитель, по строкам которого записаны координаты исследуемых векторов \bar{a},\; \bar{b} и \bar{c}:

    \[\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \\ 4 & 2 & 1 \end{array}\right|=1\cdot 0\cdot 1+3\cdot 2\cdot \left(-1\right)+2\cdot 2\cdot 4-4\cdot 0\cdot \left(-1\right)-2\cdot 2\cdot 1-3\cdot 2\cdot 1=0\]

Поскольку смешанное произведение равно нулю, то делаем вывод, что векторы компланарны.

Ответ Векторы компланарны.
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.