Свойства смешанного произведения векторов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Смешанным произведением $\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)$ трех векторов $\bar{a},\; \bar{b}$ и $\bar{c}$ называется скалярное произведение вектора $\bar{a}$ на векторное произведение векторов $\bar{b}$ и $\bar{c}$ :

$\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=\left(\bar{a},\; \left[\bar{b},\; \bar{c}\right]\right)$

Свойства смешанного произведения векторов

1. Геометрический смысл: модуль смешанного произведения трех векторов $\left\{\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right\}$ равен объему параллелепипеда, построенного на них:

$V_{parall} =\left|\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)\right|$

2. Смешанное произведение трех векторов $\bar{a},\; \bar{b}$ и $\bar{c}$ равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны.

3. Объем пирамиды, построенной на векторах $\bar{a},\; \bar{b}$ и $\bar{c}$ , находится по формуле:

$V_{pyr} =\frac{1}{6} \left|\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)\right|$

4. При перемене мест двух множителей смешанное произведение меняет знак на противоположный:

$\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=-\left(\bar{b},\; \bar{a},\; \bar{c}\right), \left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=-\left(\bar{c},\; \bar{b},\; \bar{a}\right), \left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=-\left(\bar{a},\; \bar{c},\; \bar{b}\right)$

5. Если векторы $\bar{a},\; \bar{b}$ и $\bar{c}$ заданы в некотором правом ортонормированном базисе своими координатами: $\bar{a}=\left(a_{1} ;\; a_{2} ;\; a_{3} \right),\; \bar{b}\left(b_{1} ;\; b_{2} ;\; b_{3} \right)$ и $\bar{c}=\left(c_{1} ;\; c_{2} ;\; c_{3} \right)$ , то их смешанное произведение вычисляется по формуле:

$\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=\left|\begin{array}{ccc} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|$

6. Тройка векторов $\left\{\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right\}$ будет правой, если $\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)>0$ . В случае, когда $\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)<0$ , векторы $\bar{a},\; \bar{b}$ и $\bar{c}$ образуют левую тройку.

7. $\left(\lambda \bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=\left(\bar{a},\; \lambda \bar{b},\; \bar{c}\right)=\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \lambda \bar{c}\right)=\lambda \left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)$ .

8. $\left(\bar{a}_{1} ,+\bar{a}_{2} \; \bar{b},\; \bar{c}\right)=\left(\bar{a}_{1} ,\; \bar{b},\; \bar{c}\right)+\left(\bar{a}_{2} ,\; \bar{b},\; \bar{c}\right)$ .

9. $\left(\bar{a},\; \left[\bar{b},\; \bar{c}\right]\right)=\left(\bar{b},\left(\bar{a},\; \bar{c}\right)\right)-\left(\bar{c},\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)\right);\ \left(\left[\bar{a},\; \bar{b}\right],\; \bar{c}\right)=\left(\bar{b},\left(\bar{a},\; \bar{c}\right)\right)-\left(\bar{a},\left(\bar{b},\; \bar{c}\right)\right)$ .

10. Тождество Якоби: $\left(\bar{a},\; \bar{b},\; c\right)+\left(\bar{b},\; \bar{c},\; \bar{a}\right)+\left(\bar{c},\; \bar{a},\; \bar{b}\right)=0$ .

Примеры решения задач

ПРИМЕР

Задание

Вычислить объем пирамиды, построенной на векторах $\bar{a}=\left(1;\; 0;\; 1\right),\ \bar{b}=\left(0;\; -1;\; 1\right)$ и $\bar{c}=\left(0;\; 2;\; 0\right)$

Решение

Искомый объем равен

$V_{pyr} =\frac{1}{6} \left|\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)\right|$

Находим смешанное произведение заданных векторов:

$\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \end{array}\right|=1\cdot \left(-1\right)\cdot 0+0\cdot 2\cdot 0+0\cdot 1\cdot 0-0\cdot \left(-1\right)\cdot 1-2\cdot 1\cdot 1-0\cdot 0\cdot 0=-2$

Тогда

$V_{pyr} =\frac{1}{6} \cdot \left|-2\right|=\frac{2}{6} =\frac{1}{3}$ (куб.ед.).

Ответ

$V_{pyr} =\frac{1}{3}$ (куб.ед.)

ПРИМЕР

Задание

Определить ориентацию тройки векторов $\bar{a}=\left(-1;\; 0;\; 2\right),\; \bar{b}=\left(0;\; 1;\; 1\right),\; \bar{c}=\left(-1;\; 0;\; 0\right)$

Решение

Определим знак смешанного произведения указанных векторов:

$\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=\left|\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{array}\right|=-1\cdot 1\cdot 0+0\cdot 0\cdot 2+0\cdot 1\cdot \left(-1\right)-\left(-1\right)\cdot 1\cdot 2-0\cdot 1\cdot \left(-1\right)-0\cdot 0\cdot 0=2>0$

Заданная тройка векторов $\left\{\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right\}$ является положительно определенной (или правой) тройкой векторов.

Ответ

Правая тройка векторов.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Свойства смешанного произведения векторов

Свойства смешанного произведения векторов

Примеры решения задач