Свойства векторного произведения векторов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Векторным произведением $\left[\bar{a},\; \bar{b}\right]$ (или $\bar{a}\times \bar{b}$ ) векторов $\bar{a}$ и $\bar{b}$ называется вектор $\bar{c}$ , который удовлетворяет следующими условиями:

1) его модуль равен произведению модулей векторов $\bar{a}$ и $\bar{b}$ на синус угла между ними:

$\left|\bar{c}\right|=\left|\bar{a}\right|\cdot \left|\bar{b}\right|\cdot \sin \angle \left(\bar{a},\; \bar{b}\right);$

2) вектор $\bar{c}$ перпендикулярен плоскости, определяемой векторами $\bar{a}$ и $\bar{b}$ ;

3) вектор $\bar{c}$ направлен так, что тройка векторов $\left\{\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right\}$ является правой.

Свойства векторного произведения векторов

1. Векторное произведение $\left[\bar{a},\; \bar{b}\right]$ равно нулевому вектору, если векторы $\bar{a}$ и $\bar{b}$ коллинеарны или какой-либо из векторов является нулевым.

2. При перестановке местами векторов сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный:

$\left[\bar{a},\; \bar{b}\right]=-\left[\bar{b},\; \bar{a}\right]$

3. Распределительное свойство:

$\left[\bar{a}+\bar{b},\; \bar{c}\right]=\left[\bar{a},\; \bar{c}\right]+\left[\bar{b},\; \bar{c}\right]$

4. Если векторы заданы своими координатами: $\bar{a}=\left(a_{1} ;\; a_{2} ;\; a_{3} \right)$ и $\bar{b}=\left(b_{1} ;\; b_{2} ;\; b_{3} \right)$ , то их векторное произведение равно определителю

$\left[\bar{a},\; \bar{b}\right]=\bar{a}\times \bar{b}=\left|\begin{array}{ccc} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array}\right|$

5. Механический смысл векторного произведения: если $\bar{F}$ – вектор силы, а вектор $\bar{r}$ – радиус-вектор точки приложения силы, имеющий свое начало в точке $O$ , то момент $\overline{m_{O} \left(\bar{F}\right)}$ силы $\bar{F}$ относительно точки $O$ есть вектор, равный векторному произведению радиус-вектора $\bar{r}$ точки приложения силы на силу $\bar{F}$ :

$\overline{m_{O} \left(\bar{F}\right)}=\left[\bar{r},\; \bar{F}\right]$

Примеры решения задач

ПРИМЕР

Задание

Найти модуль векторного произведения векторов $\bar{a}$ и $\bar{b}$ , если $\left|\bar{a}\right|=\left|\bar{b}\right|=2,\ \sin \angle (\bar{a}, \bar{b})=\frac{\pi }{6}$

Решение

Согласно определению

$\left|\bar{a}\times \bar{b} \right|=\left|\bar{a}\right|\cdot \left|\bar{b}\right|\cdot \sin \angle \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)$

Тогда, подставляя заданные значения, будем иметь:

$\left|\bar{a}\times \bar{b} \right|=2\cdot 2\cdot \sin \frac{\pi }{6} =4\cdot \frac{1}{2} =2$

Ответ

$\left|\bar{a}\times \bar{b} \right|=2$

ПРИМЕР

Задание

Найти векторное произведение векторов $\bar{a}=\left(1;\; 0;\; -1\right)$ и $\bar{b}=\left(0;\; 1;\; 2\right)$

Решение

Согласно формуле, искомое векторное произведение равно:

$\left[\bar{a},\; \bar{b}\right]=\left|\begin{array}{ccc} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right|\begin{array}{c} {\leftarrow } \\ {} \\ {} \end{array}=$

$=\bar{i}\cdot \left(-1\right)^{1+1} \cdot \left|\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{array}\right|+\bar{j}\cdot \left(-1\right)^{1+2} \cdot \left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{array}\right|+\bar{k}\cdot \left(-1\right)^{1+3} \cdot \left|\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right|=$

$=\bar{i}-2\bar{j}+\bar{k}=\left(1;\; -2;\; 1\right)$

Ответ

$\left[\bar{a},\; \bar{b}\right]=\left(1;\; -2;\; 1\right)$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Свойства векторного произведения векторов

Свойства векторного произведения векторов

Примеры решения задач