Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Произведения векторов

1. Скалярное произведение векторов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Скалярным произведением \bar{a}\cdot \bar{b} (или \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)) двух векторов \bar{a} и \bar{b} называется число, равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла \varphi =\angle \left(\bar{a},\; \bar{b}\right) между ними:

    \[\bar{a}\cdot \bar{b}=\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=\left|\bar{a}\right|\cdot \left|\bar{b}\right|\cdot \cos \varphi $\]

ПРИМЕР
Задание Найти скалярное произведение векторов \bar{a} и \bar{b}, если известно, что \left|\bar{a}\right|=1,\ \left|\bar{b}\right|=3,\ \angle \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=\frac{\pi }{3}
Решение Согласно определению, искомое скалярное произведение равно произведению модулей векторов, умноженных на косинус угла между ними:

    \[\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=\left|\bar{a}\right|\cdot \left|\bar{b}\right|\cdot \cos \angle \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=1\cdot 3\cdot \cos \frac{\pi }{3} =3\cdot \frac{1}{2} =\frac{3}{2} \]

Ответ \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=\frac{3}{2}

Знак скалярного произведения зависит от значения косинуса угла \varphi =\angle \left(\bar{a},\; \bar{b}\right) между векторами:

1) Если угол между векторами острый \left(0<\varphi <\frac{\pi}{2} \right), то скалярное произведение будет положительным.

Замечание. Если векторы сонаправлены, то угол между ними равен нулю: \varphi =0^{\circ} и скалярное произведение также будет положительным.

2) Если угол между векторами тупой \left(\frac{\pi}{2} <\varphi <\pi \right), то скалярное произведение отрицательно.

Замечание. Если векторы противоположно направлены, то угол между ними равен \pi и скалярное произведение отрицательно.

Замечание. Имеют место и обратные утверждения:

1.1) Если скалярное произведение \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)>0, то угол между векторами \bar{a} и \bar{b} острый.

2.1) Если скалярное произведение \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)<0, то угол между рассматриваемыми векторами тупой.

3) Если угол между векторами прямой: \left(\varphi =\frac{\pi}{2} \right), то скалярное произведение векторов равно нулю.

Замечание. Обратное утверждение также верно:

3.1) Если скалярное произведение двух векторов \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=0, то угол между векторами равен \frac{\pi }{2}, то есть векторы ортогональны.

Критерий ортогональности векторов. Скалярное произведение \left(\bar{a},\; \bar{b}\right) двух векторов \bar{a} и \bar{b} равно нулю тогда и только тогда, когда данные векторы ортогональны:

    \[\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=0\Leftrightarrow \bar{a}\bot \bar{b}\]

Свойства скалярного произведения

1. Скалярный квадрат \bar{a}\cdot \bar{a}=\left(\bar{a},\; \bar{a}\right)=\bar{a}^{2} вектора \bar{a} равен квадрату длины данного вектора:

    \[\bar{a}^{2} =\left|\bar{a}\right|^{2} \]

Замечание. Из последнего равенства имеем, что модуль вектора

    \[\left|\bar{a}\right|=\sqrt{\bar{a}^{2} } =\sqrt{\left(\bar{a},\; \bar{a}\right)} \]

2. \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=\left(\bar{b},\; \bar{a}\right).

3. \left(\bar{a}+\bar{b},\; \bar{c}\right)=\left(\bar{a},\; \bar{c}\right)+\left(\bar{b},\; \bar{c}\right).

4. \left(\lambda \bar{a},\; \bar{b}\right)=\lambda \left(\bar{a},\; \bar{b}\right).

ПРИМЕР
Задание Найти скалярное произведение векторов \bar{a}=-2\bar{p}+\bar{q},\ \bar{b}=\bar{p}-\bar{q}, если \left|\bar{p}\right|=\sqrt{2} ,\ \left|\bar{q}\right|=2, \angle \left(\bar{p},\; \bar{q}\right)=\frac{\pi }{4}
Решение Искомое скалярное произведение, с учетом выше приведенных свойств, равно

    \[\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=\left(-2\bar{p}+\bar{q},\; \bar{p}-\bar{q}\right)=\left(-2\bar{p},\; \bar{p}-\bar{q}\right)+\left(\bar{q},\; \bar{p}-\bar{q}\right)=-2\cdot \left(\bar{p},\; \bar{p}-\bar{q}\right)+\left(\bar{p}-\bar{q},\; \bar{q}\right)=\]

    \[=-2\cdot \left(\bar{p}-\bar{q},\; \bar{p}\right)+\left(\bar{p},\; \bar{q}\right)-\left(\bar{q},\; \bar{q}\right)=-2\cdot \left[\left(\bar{p},\; \bar{p}\right)-\left(\bar{q},\; \bar{p}\right)\right]+\left(\bar{p},\; \bar{q}\right)-\bar{q}^{2} =\]

    \[=-2\bar{p}^{2} +2\cdot \left(\bar{q},\; \bar{p}\right)+\left(\bar{p},\; \bar{q}\right)-\left|\bar{q}\right|^{2} =-2\left|\bar{p}\right|^{2} +2\cdot \left(\bar{p},\; \bar{q}\right)+\left(\bar{p},\; \bar{q}\right)-2^{2} =\]

    \[=-2\cdot \sqrt{2} ^{2} +3\cdot \left(\bar{p},\; \bar{q}\right)-4=-2\cdot 2+3\cdot \left|\bar{p}\right|\cdot \left|\bar{q}\right|\cdot \cos \angle \left(\bar{p},\; \bar{q}\right)=-4+3\cdot \sqrt{2} \cdot 2\cdot \cos \frac{\pi }{4} -4=\]

    \[=-8+6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2} }{2} =-8+6=-2\]

Ответ \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=-2
ПРИМЕР
Задание Найти модуль вектора \bar{a}=2\bar{p}-3\bar{q}, если \left|\bar{p}\right|=2,\ \left|\bar{q}\right|=1,\ \angle \left(\bar{p},\; \bar{q}\right)=\frac{\pi }{6}
Решение Известно, что длина вектора равна корню квадратному из скалярного квадрата этого вектора, то есть тогда

    \[\left|\bar{a}\right|=\sqrt{\bar{a}^{2} } =\sqrt{\left(2\bar{p}-3\bar{q}\right)^{2} } =\sqrt{\left(2\bar{p}\right)^{2} -2\cdot 2\bar{p}\cdot 3\bar{q}+\left(3\bar{q}\right)^{2} } =\]

    \[=\sqrt{4\cdot \bar{p}^{2} -12\cdot \bar{p}\cdot \bar{q}+9\bar{q}^{2} } =\sqrt{4\cdot \left|\bar{p}\right|^{2} -12\cdot \left|\bar{p}\right|\cdot \left|\bar{q}\right|\cdot \cos \angle \left(\bar{p},\; \bar{q}\right)+9\cdot \left|\bar{q}\right|^{2} } =\]

    \[=\sqrt{4\cdot 2^{2} -12\cdot 2\cdot 1\cdot \cos \frac{\pi }{6} +9\cdot 1^{2} } =\sqrt{16-24\cdot \frac{\sqrt{3} }{2} +9} =\sqrt{25-12\sqrt{3} } \]

Ответ \left|\bar{a}\right|=\sqrt{25-12\sqrt{3} }

Скалярное произведение векторов \bar{a}=\left(a_{1} ;\; a_{2} \right) и \bar{b}=\left(b_{1} ;\; b_{2} \right), заданных в некотором ортонормированном базисе своими координатами, равно сумме произведений их соответствующих координат:

    \[\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=a_{1} \cdot b_{1} +a_{2} \cdot b_{2} \]

ПРИМЕР
Задание Найти скалярное произведение векторов \bar{a}=\left(-1;\; 2\right) и \bar{b}=\left(3;\; 1\right).
Решение Скалярное произведение двух векторов есть число, равное сумме произведений их соответствующих координат, то есть

    \[\bar{a}\cdot \bar{b}=-1\cdot 3+2\cdot 1=-3+2=-1\]

Ответ \bar{a}\cdot \bar{b}=-1.

2. Векторное произведение векторов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Векторным произведением \left[\bar{a},\; \bar{b}\right] (или \bar{a}\times \bar{b}) двух неколлинеарных векторов \bar{a} и \bar{b} называется вектор \bar{c}, ортогональный векторам \bar{a} и \bar{b}, длина которого равна площади параллелограмма, построенного на данных векторах (рис. 1):

    \[\left|\bar{c}\right|=\left|\bar{a}\times \bar{b}\right|=\left|\bar{a}\right|\cdot \left|\bar{b}\right|\cdot \sin \varphi ,\]

где \varphi =\angle \left(\bar{a},\; \bar{b}\right).

Векторное произведение векторов

Замечание. Вектор \bar{c} направлен так, что тройка векторов \left\{\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right\} правая.

Замечание. Площадь треугольника, построенного на векторах \bar{a} и \bar{b}, вычисляется по формуле:

    \[S_{\Delta } =\frac{\left|\bar{a}\times \bar{b}\right|}{2} =\frac{1}{2} \cdot \left|\bar{a}\right|\cdot \left|\bar{b}\right|\cdot \sin \varphi \]

Утверждение. Если векторы \bar{a} и \bar{b} коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю.

ПРИМЕР
Задание Найти длину векторного произведения векторов \bar{a} и \bar{b}, если известно, что \left|\bar{a}\right|=2,\ \left|\bar{b}\right|=1,\ \angle \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=\frac{\pi }{3}
Решение Согласно определению, модуль векторного произведения двух векторов равен произведению модулей этих векторов на синус угла между ними, то есть

    \[\left|\bar{a}\times \bar{b}\right|=\left|\bar{a}\right|\cdot \left|\bar{b}\right|\cdot \sin \angle \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=2\cdot 1\cdot \sin \frac{\pi }{3} =2\cdot \frac{\sqrt{3} }{2} =\sqrt{3} \]

Ответ \left|\bar{a}\times \bar{b}\right|=\sqrt{3}

Свойства векторного произведения векторов

1. \bar{a}\times \bar{a}=\left[\bar{a},\; \bar{a}\right]=\bar{0}.

2. \left[\bar{a},\; \bar{b}\right]=-\left[\bar{b},\; \bar{a}\right].

3. \left[\lambda \, \bar{a},\; \bar{b}\right]=\lambda \left[\bar{a},\; \bar{b}\right];\ \left[\bar{a},\; \lambda \, \bar{b}\right]=\lambda \left[\bar{a},\; \bar{b}\right].

4. \left[\bar{a}+\bar{b},\; \bar{c}\right]=\left[\bar{a},\; \bar{c}\right]+\left[\bar{b},\; \bar{c}\right];\ \left[\bar{a},\; \bar{b}+\bar{c}\right]=\left[\bar{a},\; \bar{b}\right]+\left[\bar{a},\; \bar{c}\right].

ПРИМЕР
Задание Найти длину вектора 2\bar{a}\times 3\bar{b}, если \left|\bar{a}\right|=1,\ \left|\bar{b}\right|=2,\ \angle \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=\frac{\pi }{2}
Решение Вектор, модуль которого надо найти, представляет собой векторное произведение. Упростим его выражение по свойствам:

    \[2\bar{a}\times 3\bar{b}=\left[2\bar{a},\; 3\bar{b}\right]=2\cdot 3\cdot \left[\bar{a},\; \bar{b}\right]=6\left[\bar{a},\; \bar{b}\right]\]

Тогда искомая длина по определению векторного произведения:

    \[\left|2\bar{a}\times 3\bar{b}\right|=\left|6\left[\bar{a},\; \bar{b}\right]\; \right|=6\cdot \left|\bar{a}\times \bar{b}\right|=6\cdot \left|\bar{a}\right|\cdot \left|\bar{b}\right|\cdot \sin \angle \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=\]

    \[=6\cdot 1\cdot 2\cdot \sin \frac{\pi }{2} =12\cdot 1=12\]

Ответ \left|2\bar{a}\times 3\bar{b}\right|=12
ПРИМЕР
Задание Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах \bar{a}=-\bar{p}+2\bar{q} и \bar{b}=3\bar{p}-\bar{q}, если \left|\bar{p}\right|=5,\ \left|\bar{q}\right|=4,\; \angle \left(p,\; \bar{q}\right)=\frac{\pi }{6}
Решение Площадь треугольника, построенного на векторах \bar{a} и \bar{b}, вычисляется по формуле:

    \[S_{\Delta } =\frac{\left|\bar{a}\times \bar{b}\right|}{2} \]

Вначале найдем векторное произведение \bar{a}\times \bar{b}:

    \[\bar{a}\times \bar{b}=\left[-\bar{p}+2\bar{q},\; 3\bar{p}-\bar{q}\right]=\left[-\bar{p},\; 3\bar{p}-\bar{q}\right]+\left[2\bar{q},\; 3\bar{p}-\bar{q}\right]=\]

    \[=\left[-\bar{p},\; 3\bar{p}\right]+\left[-\bar{p},\; -\bar{q}\right]+\left[2\bar{q},\; 3\bar{p}\right]+\left[2\bar{q},\; -\bar{q}\right]=\]

    \[=-3\cdot \left[\bar{p},\; \bar{p}\right]+\left[\bar{p},\; \bar{q}\right]+6\cdot \left[\bar{q},\; \bar{p}\right]-2\cdot \left[\bar{q},\; \bar{q}\right]=-3\cdot \bar{0}+\left[\bar{p},\; \bar{q}\right]-6\cdot \left[\bar{p},\; \bar{q}\right]-2\cdot \bar{0}=-5\cdot \left[\bar{p},\; \bar{q}\right]\]

Тогда искомая площадь:

    \[S_{\Delta } =\frac{\left|\bar{a}\times \bar{b}\right|}{2} =\frac{1}{2} \cdot \left|-5\cdot \left[\bar{p},\; \bar{q}\right]\, \right|=\frac{5}{2} \cdot \left|\bar{p}\right|\cdot \left|\bar{q}\right|\cdot \sin \angle \left(\bar{p},\; \bar{q}\right)=\]

\frac{5}{2} \cdot 5\cdot 4\cdot \sin \frac{\pi }{6} =50\cdot \frac{1}{2} =25 (кв. ед.).

Ответ S_{\Delta } =25 (кв. ед.)

Если векторы \bar{a}=\left(a_{1} ;\; a_{2} ;\; a_{3} \right) и \bar{b}=\left(b_{1} ;\; b_{2} ;\; b_{3} \right) заданны своими координатами в некотором ортонормированном базисе, то их векторное произведение выражается формулой:

    \[\left[\bar{a},\; \bar{b}\right]=\left|\begin{array}{ccc} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array}\right|=\bar{i}\cdot \left|\begin{array}{cc} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{array}\right|-\bar{j}\cdot \left|\begin{array}{cc} a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{array}\right|+\bar{k}\cdot \left|\begin{array}{cc} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{array}\right|=\]

    \[=\bar{i}\cdot \left(a_{2} \cdot b_{3} -b_{2} \cdot a_{3} \right)-\bar{j}\cdot \left(a_{1} \cdot b_{3} -b_{1} \cdot a_{3} \right)+\bar{k}\cdot \left(a_{1} \cdot b_{2} -b_{1} \cdot a_{2} \right)=\]

    \[=\left(a_{2} \cdot b_{3} -b_{2} \cdot a_{3} ;\; a_{1} \cdot b_{3} -b_{1} \cdot a_{3} ;\; a_{1} \cdot b_{2} -b_{1} \cdot a_{2} \right)\]

ПРИМЕР
Задание Вычислить модуль векторного произведения векторов \bar{a}=\left(1;\; -2;\; 1\right) и \bar{b}=\left(2;\; 0;\; -1\right)
Решение Вначале найдем векторное произведение заданных векторов:

    \[\left[\bar{a},\; \bar{b}\right]=\left|\begin{array}{ccc} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \end{array}\right|\begin{array}{c} {\leftarrow } \\ {} \\ {} \end{array}=\bar{i}\cdot \left(2-0\right)-\bar{j}\cdot \left(-1-2\right)+\bar{k}\cdot \left(0+4\right)=2\bar{i}+3\bar{j}+4\bar{k}=\left(2;\; 3;\; 4\right)\]

Длина полученного вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:

    \[\left|\bar{a}\times \bar{b}\right|=\left|\left(2;\; 3;\; 4\right)\right|=\sqrt{2^{2} +3^{2} +4^{2} } =\sqrt{4+9+16} =\sqrt{29} \]

Ответ \left|\bar{a}\times \bar{b}\right|=\sqrt{29}

3. Смешанное произведение векторов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Смешанным произведением \left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right) трех некомпланарных векторов \bar{a},\ \bar{b} и \bar{c} называется число, равное скалярному произведению вектора \bar{a} на векторное произведение векторов \bar{b} и \bar{c}:

    \[\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=\left(\bar{a},\; \left[\bar{b},\; \bar{c}\right]\right)\]

Замечание. Если векторы \bar{a},\ \bar{b} и \bar{c} компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

Геометрически смешанное произведение \left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right) векторов \bar{a},\ \bar{b} и \bar{c} равно модулю объёма параллелепипеда, построенного на данных векторах:

    \[V_{parall} =\left|\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)\right|\]

Объём тетраэдра (правильной пирамиды), построенного на трех векторах \bar{a},\ \bar{b} и \bar{c}, равен одной шестой объёма параллелепипеда:

    \[V_{pyr} =\frac{\left|\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)\right|}{6} \]

В случае, когда векторы \bar{a},\ \bar{b} и \bar{c} заданы своими координатами в некотором ортонормированном базисе: \bar{a}=\left(a_{1} ;\; a_{2} ;\; a_{3} \right),\; \bar{b}=\left(b_{1} ;\; b_{2} ;\; b_{3} \right),\; \bar{c}=\left(c_{1} ;\; c_{2} ;\; c_{3} \right), их смешанное произведение вычисляется по формуле:

    \[\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=\left|\begin{array}{ccc} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|\]

Свойства смешанного произведения

1. При перестановке любых двух векторов смешанное произведение меняет знак:

    \[\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=-\left(\bar{b},\; \bar{a},\; \bar{c}\right); \left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=-\left(\bar{c},\; \bar{b},\; \bar{a}\right); \left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=-\left(\bar{a},\; \bar{c},\; \bar{b}\right)\]

2. При циклической перестановке множителей смешанное произведение не изменяется:

    \[\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=\left(\bar{b},\; \bar{c},\; \bar{a}\right)=\left(\bar{c},\; \bar{a},\; \bar{b}\right)\]

3. Если тройка векторов \bar{a},\ \bar{b} и \bar{c} правая, то смешанное произведение \left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right) положительно. Если тройка левая, то смешанное произведение \left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right) отрицательно.

ПРИМЕР
Задание Заданы три вектора \bar{a}=\left(1;\, -1;\; 2\right),\ \bar{b}=\left(0;\; 1;\; -1\right) и \bar{c}=\left(4;\; -1;\; 0\right). Вычислить объём тетраэдра, построенного на этих векторах.
Решение Искомый объем равен

    \[V_{tetr} =\frac{\left|\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)\right|}{6} \]

Поэтому вначале вычислим смешанное произведение заданных векторов \bar{a},\ \bar{b} и \bar{c}:

    \[\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=\left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 0 \end{array}\right|=\]

    \[=1\cdot 1\cdot 0+0\cdot \left(-1\right)\cdot 2+4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-1\right)-4\cdot 1\cdot 2-\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)\cdot 1-0\cdot \left(-1\right)\cdot 0=-5\]

Тогда искомый объем

V_{tetr} =\frac{\left|-5\right|}{6} =\frac{5}{6} (куб. ед.).

Ответ V_{tetr} =\frac{5}{6} (куб. ед.)
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.