Сонаправленные вектора

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Векторы называются сонаправленными, если они коллинеарны и их направления совпадают (рис. 1).

Сонаправленность векторов обозначается следующим образом: $\bar{b}\uparrow \uparrow \bar{c}$ .

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельных прямых.

Примеры решения задач с сонаправленными векторами

ПРИМЕР

Задание

Заданы векторы $\bar{a}=\left(4;\; 0\right),\ \bar{b}=\left(8;\; 0\right)$ . Будут ли эти векторы сонаправленными?

Решение

Покажем вначале, что рассматриваемые векторы коллинеарны. Согласно условию коллинеарности 1, два вектора $\bar{a}$ и $\bar{b}$ коллинеарны, если существует такое ненулевое число $\lambda$ , что имеет место равенство $\bar{b}=\lambda \bar{a}$ . Для заданных векторов $\bar{a}=\left(4;\; 0\right)$ и $\bar{b}=\left(8;\; 0\right)$ можно указать такое число $\lambda =2\ne 0$ такое, что

$\bar{b}=2\bar{a}=2\cdot \left(4;\; 0\right)=\left(8;\; 0\right)$

Таким образом, заданные векторы коллинеарны.

Согласно свойствам скалярного произведения двух векторов, указанные коллинеарные векторы будут сонаправлены, если их скалярное произведение будет положительно, и противоположно направленными – в противном случае. Поэтому для того, чтобы ответить на вопрос, найдем скалярное произведение заданных векторов. Оно равно сумме произведений соответствующих координат:

$\bar{a}\cdot \bar{b}=4\cdot 8+0\cdot 0=32>0$

Поскольку $\bar{a}\cdot \bar{b}>0$ , то делаем вывод, что векторы $\bar{a}$ и $\bar{b}$ сонаправлены.

Ответ

Да, векторы сонаправлены.

ПРИМЕР

Задание	Точка $C$ лежит на прямой, определяемой точками $A$ и $B$ . В каком случае векторы $\overline{AC}$ и $\overline{BC}$ будут сонаправлены, противоположно направлены?
Решение	Если точка $C$ лежит вне отрезка $AB$ , то указанные векторы будут сонаправлены (рис. 2). Если точка $C$ лежит внутри отрезка $AB$ , то векторы $\overline{AC}$ и $\overline{BC}$ будут противоположно направлены (рис. 3). И в случае, если точка $C$ совпадает с одним из концов отрезка $AB$ , то тогда од из рассматриваемых векторов $\overline{AC}$ или $\overline{BC}$ будет нулевым, а для такого вектора понятие направленности не определено.
Ответ	Векторы сонаправлены, если точка $C$ лежит вне отрезка $AB$ ; противоположно направлены – если внутри отрезка; направление неопределенно, если точка $C$ совпадает с одним из концов отрезка $AB$ .

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Сонаправленные вектора

Примеры решения задач с сонаправленными векторами