Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Векторы в пространстве

Основные понятия и определения векторов в пространстве

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Вектором называется направленный отрезок, то есть такой отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой – концом (рис. 1).
Векторы в пространстве

Если начало вектора совпадает с его концом, то такой вектор называется нулевым и обозначается как \bar{0}. (На рисунке 1 нулевым является вектор \overline{CC}=\bar{0}.)

Замечание. Любая точка пространства рассматривается как нулевой вектор.

Длиной или модулем \left|\overline{AB}\right| вектора \overline{AB} называется длина отрезка AB.

Замечание. Длина нулевого вектора равна нулю:

    \[\left|\bar{0}\right|=0\]

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным.

Коллинеарные и неколлинеарные векторы в пространстве

Два ненулевых вектора называются коллинеарными или параллельными, если они лежат на одной или на параллельных прямых. (На рисунке 1 таковыми являются векторы \bar{b} и \bar{c}.)

Лемма. Если два ненулевых вектора \bar{a} и \bar{b} коллинеарны, то существует такое число \lambda \ne 0, что имеет место равенство:

    \[\bar{a}=\lambda \bar{b}\]

Сонаправленные и противоположные векторы в пространстве

Два ненулевых коллинеарных вектора \bar{a} и \bar{b} называются сонаправленными, если их направления совпадают (\bar{a}\uparrow \uparrow \bar{b}); и противоположно направленными – в противном случае (\bar{a}\uparrow \downarrow \bar{b}).

Векторы \bar{a} и \bar{b} называются равными, если они сонаправленны и их длины равны.

Утверждение. От любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Два ненулевых вектора \bar{a} и -\bar{a} называются противоположными, если их длины равны и они противоположно направлены.

Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.

Замечание. Любые два коллинеарных вектора компланарны; три вектора, среди которых имеется два коллинеарных, также компланарны.

Утверждение. Если вектор \bar{c} можно представить в виде линейной комбинации векторов \bar{a} и \bar{b}:

    \[\bar{c}=\lambda _{1} \bar{a}+\lambda _{2} \bar{b},\]

то векторы \bar{a},\; \bar{b} и \bar{c} компланарны.

ТЕОРЕМА
Теорема. Любой вектор можно разложить по трём заданным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом:

    \[\bar{d}=\lambda _{1} \bar{a}+\lambda _{2} \bar{b}+\lambda _{3} \bar{c}\]

Если точки A и B заданы в пространстве своими координатами: A\left(a_{1} ;\; a_{2} ;\; a_{3} \right),\; B\left(b_{1} ;\; b_{2} ;\; b_{3} \right), то для нахождения координат вектора \overline{AB} необходимо от координат конца точки B этого вектора отнять соответствующие координаты начала точки A:

    \[\overline{AB}=\left(b_{1} -a_{1} ;\; b_{2} -a_{2} ;\; b_{3} -a_{3} \right)\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти координаты вектора \bar{a}=\overline{AB}, если A\left(1;\; -2;\; 0\right),\; B\left(2;\; -1;\; 2\right)
Решение Для нахождения координат вектора от координат его конца отнимем соответствующие координаты начала:

    \[\bar{a}=\left(2-1;\; -1-\left(-2\right);\; 2-0\right)=\left(1;\; 1;\; 2\right)\]

Ответ \bar{a}=\left(1;\; 1;\; 2\right)

Если вектор \bar{a} задан в пространстве своими координатами: \bar{a}=\left(a_{1} ;\; a_{2} ;\; a_{3} \right), то его длина равна корню квадратному из суммы квадратов координат:

    \[\left|\bar{a}\right|=\sqrt{a_{1}^{2} +a_{2}^{2} +a_{3}^{2} } \]

ПРИМЕР 2
Задание Найти модуль вектора \bar{a}=\left(0;\; -3;\; 2\right)
Решение Модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат, то есть для заданного вектора \bar{a} имеем:

    \[\left|\bar{a}\right|=\sqrt{0^{2} +\left(-3\right)^{2} +2^{2} } =\sqrt{0+9+4} =\sqrt{13} \]

Ответ \left|\bar{a}\right|=\sqrt{13}
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.