Коллинеарные векторы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Вектора называются коллинеарными векторами, если они параллельны одной прямой или лежат на одной прямой (рис. 1).

Условия коллинеарности векторов

Два вектора $\bar{a}$ и $\bar{b}$ будут коллинеарны при выполнении любого из следующих условий.

Условие коллинеарности 1. Два вектора $\bar{a}$ и $\bar{b}$ коллинеарны, если существует такое число $\lambda$ , что

$\bar{a}=\lambda \bar{b}$

Условие коллинеарности 2. Два вектора $\bar{a}$ и $\bar{b}$ коллинеарны, если отношения их координат равны:

$\bar{a}=\left(a_{1} ;\; a_{2} \right),\ \ \bar{b}=\left(b_{1} ;\; b_{2} \right)\Rightarrow \bar{a}||\bar{b}\Leftrightarrow \frac{a_{1}}{b_{1}} =\frac{a_{2}}{b_{2}}$

ЗАМЕЧАНИЕ

Это условие неприменимо, если одна из координат вектора равна нулю.

Условие коллинеарности 3. Два вектора коллинеарны $\bar{a}$ и $\bar{b}$ , если их векторное произведение равно нулевому вектору:

$\bar{a}||\bar{b}\Leftrightarrow \left[\bar{a},\; \bar{b}\right]=\bar{0}$

ЗАМЕЧАНИЕ

Это условие применимо только для векторов, заданных в пространстве.

Примеры решения задач с коллинеарными векторами

ПРИМЕР

Задание

Исследовать векторы $\bar{a}=\left(1;\; -3\right)$ и $\bar{b}=\left(2;\; 1\right)$ на коллинеарность.

Решение

Воспользуемся вторым условием коллинеарности. Для заданных векторов оно запишется в виде:

$\frac{1}{2} =\frac{-3}{1}$

Поскольку получили неверное равенство, то делаем вывод, что векторы $\bar{a}$ и $\bar{b}$ неколлинеарные.

Ответ

$\bar{a}\not |\not |\bar{b}$

ПРИМЕР

Задание

При каком значении параметра $m$ вектора $\bar{a}=\left(1;\; 2\right)$ и $\bar{b}=\left(-1;\; m\right)$ коллинеарны?

Решение

Согласно второму условию коллинеарности, рассматриваемые вектора будут коллинеарными, если их координаты будут пропорциональными, то есть

$\frac{1}{-1} =\frac{2}{m}$

Откуда

$m=-2$

Ответ

$m=-2$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Коллинеарные векторы

Условия коллинеарности векторов

Примеры решения задач с коллинеарными векторами