Векторы на плоскости

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Вектором на плоскости называется направленный отрезок прямой, причем один из концов отрезка (точка) является началом вектора, а второй – его концом (рис. 1).

Если начало и конец вектора – это точки $A$ и $B$ , то вектор обозначается как $\overline{AB}$ . Также для обозначения векторов используются строчные латинские буквы:

$\overline{AB}=\bar{a}$

Нулевой вектор

Нулевым вектором $\bar{0}$ называется вектор, у которого начало совпадает с концом (рис. 1).

ЗАМЕЧАНИЕ

Нулевому вектору $\bar{0}$ придают любое направление на плоскости.

Длинойили модулем $\left|\overline{AB}\right|$ вектора $\overline{AB}$ называется неотрицательное число, равное длине отрезка $AB$ , который задает вектор.

ЗАМЕЧАНИЕ

Длина нулевого вектора $\bar{0}$ равна нулю.

$\left|\bar{0}\right|=0$

Коллинеарные и неколлинеарные векторы на плоскости

Два вектора на плоскости называют коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых (рис. 2). В противном случае векторы называются неколлинеарными.

ЗАМЕЧАНИЕ

Нулевой вектор $\bar{0}$ коллинеарен любому другому вектору плоскости.

Сонаправленные и противоположно направленные векторы на плоскости

Два коллинеарных вектора $\bar{a}$ и $\bar{b}$ называются сонаправленными, если их направления совпадают. Сонаправленные векторы обозначаются следующим образом: $\bar{a}\uparrow \uparrow \bar{b}$ . Два коллинеарные вектора $\bar{a}$ и $\bar{b}$ называются противоположно направленными, если их направления противоположны. Обозначение $\bar{a}\uparrow \downarrow \bar{b}$ .

ЗАМЕЧАНИЕ

Считается, что нулевой вектор $\bar{0}$ сонаправлен с любым другим вектором плоскости.

Два вектора плоскости называются равными, если они сонаправлены и их длины равны (рис. 3):

$\bar{a}=\bar{b}\Leftrightarrow \bar{a}\uparrow \uparrow \bar{b}\wedge \left|\bar{a}\right|=\left|\bar{b}\right|$

Вектор $-\bar{a}$ называется противоположным к вектору $\bar{a}$ , если эти векторы противоположно направлены и их длины равны.

Отложим от некоторой точки $O$ на плоскости два произвольных вектора $\bar{a}$ и $\bar{b}$ (рис. 4). Лучи, исходящие из этой точки образуют угол $\varphi$ , который называется углом между векторами $\bar{a}$ и $\bar{b}$ :

$\varphi =\angle \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)$

ЗАМЕЧАНИЕ

Угол между сонаправленными векторами равен $0^{\circ }$ (или нулю радиан), а угол между противоположно направленными векторами – $180^{\circ }$ (или $\pi$ радиан).

Два вектора $\bar{a}$ и $\bar{b}$ называются ортогональными (или перпендикулярными), если угол между ними равен $90^{\circ }$ ( ${\pi \mathord{\left/{\vphantom{\pi 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} 2}$ радиан) (рис. 5).

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Векторы на плоскости

Нулевой вектор

Коллинеарные и неколлинеарные векторы на плоскости

Сонаправленные и противоположно направленные векторы на плоскости