Проекция вектора на вектор

Определение и формула проекции вектора на вектор

Проекцией вектора $\overline{AB}$ на ось $l$ называется число, которое равно величине отрезка $A_{1} B_{1}$ , принадлежащего указанной оси, где точки $A_{1}$ и $B_{1}$ – проекции точек $A$ и $B$ на рассматриваемую ось $l$ соответственно (рис. 1).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Проекцией $\Pi \text{p}_{\bar{b}} \bar{a}$ вектора $\bar{a}$ на направление вектора $\bar{b}$ , называется число, которое равно величине проекции вектора $\bar{a}$ на ось $l$ , проходящую через второй вектор $\bar{b}$ (рис. 2).

Проекция вектора $\bar{a}$ на направление вектора $\bar{b}$ равна скалярному произведению этих векторов, деленному на длину вектора $\bar{b}$ :

${\Pi \text{p}}_{\bar{b}} \bar{a}=\frac{\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)}{\left|\bar{b}\right|}$

Примеры нахождения проекции вектора на вектор

ПРИМЕР

Задание

Найти проекцию вектора $\bar{a}=\left(0;\; -1\right)$ на вектор $\bar{b}=\left(1;\; -1\right)$

Решение

Вычислим скалярное произведение заданных векторов. Оно равно сумме произведений соответствующих координат векторов-сомножителей

$\bar{a}\cdot \bar{b}=0\cdot 1+\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)=0+1=1$

Модуль вектора $\bar{b}$ равен корню квадратному из суммы квадратов координат, то есть

$\left|\bar{b}\right|=\sqrt{1^{2} +\left(-1\right)^{2} } =\sqrt{1+1} =\sqrt{2}$

Тогда искомая проекция

${\Pi \text{p}}_{\bar{b}} \bar{a}=\frac{1}{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2}$

Ответ

${\Pi \text{p}}_{\bar{b}} \bar{a}=\frac{\sqrt{2} }{2}$

ПРИМЕР

Задание

Найти модуль вектора $\bar{b}$ , если известно, что проекция вектора $\bar{a}$ на него равна 2, а скалярное произведение этих векторов $\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=4$