Проекция вектора на ось

Определение и формула проекции вектора на ось

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Геометрической проекцией вектора $\bar{a}$ на ось $l$ есть вектор $\overline{{\Pi \text{p}}_{l} \bar{a}}$ , началом и концом которого являются соответственно проекции начала и конца заданного вектора $\bar{a}$ (рис. 1).

Под осью понимается прямая, для которой указано направление.

Чтобы построить проекцию вектора $\bar{a}=\overline{AB}$ на ось $l$ , нужно из точек $A$ и $B$ (начало и конец вектора $\bar{a}$ соответственно) опустить перпендикуляры на направленную прямую $l$ , основания этих перпендикуляров будут началом и концом искомой проекции (рис. 1).

Числовой характеристикой проекции вектора $\bar{a}$ на ось $l$ является числовая проекция ${\Pi \text{p}}_{l} \bar{a}$ этого вектора на данную ось – число, которое равно произведению длины данного вектора на косинус угла между этим вектором и вектором, определяющим направление оси.

Если направление оси определяется вектором $\bar{b}$ , то числовая проекция вектора $\bar{a}$ на эту ось обозначается как ${\Pi \text{p}}_{\bar{b}} \bar{a}$ , причем

${\Pi \text{p}}_{\bar{b}} \bar{a}=\left|\bar{a}\right|\cdot \cos \left(\mathop{\bar{a},\; \bar{b}}\limits^{\wedge } \right)\ \ \ (1)$

Примеры нахождения проекции вектора на ось

ПРИМЕР

Задание	Вычислить числовую проекцию вектора $\bar{a}$ на ось, направление которой определяется вектором $\bar{b}$ , если модуль вектора $\bar{a}$ равен 3, а угол между векторами $\bar{a}$ и $\bar{b}$ равен $30^{\circ }$ .
Решение	Итак, имеем, что $\left\|\bar{a}\right\|=3,\; \left(\mathop{\bar{a},\; \bar{b}}\limits^{\wedge } \right)=30^{\circ }$ , тогда искомая числовая проекция ${\Pi \text{p}}_{\bar{b}} \bar{a}=3\cdot \cos 30^{\circ } =3\cdot \frac{\sqrt{3} }{2} =\frac{3\sqrt{3} }{2}$
Ответ	${\Pi \text{p}}_{\bar{b}} \bar{a}=\frac{3\sqrt{3} }{2}$

Из определения скалярного произведения двух векторов $\bar{a}$ и $\bar{b}$ :

$\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=\left|\bar{a}\right|\cdot \left|\bar{b}\right|\cdot \cos \left(\mathop{\bar{a},\; \bar{b}}\limits^{\wedge } \right),$

получаем, что

$\cos \left(\mathop{\bar{a},\; \bar{b}}\limits^{\wedge } \right)=\frac{\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)}{\left|\bar{a}\right|\cdot \left|\bar{b}\right|}$

В результате формула (1) принимает вид:

${\Pi \text{p}}_{\bar{b}} \bar{a}=\left|\bar{a}\right|\cdot \frac{\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)}{\left|\bar{a}\right|\cdot \left|\bar{b}\right|} =\frac{\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)}{\left|\bar{b}\right|}$

То есть числовой проекцией вектора $\bar{a}$ на ось, направление которой совпадает с направлением вектора $\bar{b}$ , есть отношение скалярного произведения векторов $\bar{a}$ и $\bar{b}$ к модулю вектора $\bar{b}$ :

${\Pi \text{p}}_{\bar{b}} \bar{a}=\frac{\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)}{\left|\bar{b}\right|}$

ПРИМЕР

Задание

Вектор $\bar{b}=\left(-1;\; 0\right)$ задает направление оси $l$ . Найдите числовую проекцию вектора $\bar{a}=\left(-3;\; 4\right)$ на эту ось.

Решение

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений соответствующих координат, то есть для данных векторов имеем:

$\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=-3\cdot \left(-1\right)+4\cdot 0=3+0=3$

Модуль вектора $\bar{b}$ равен корню квадратному из суммы квадратов координат:

$\left|\bar{b}\right|=\sqrt{\left(-1\right)^{2} +0^{2} } =\sqrt{1+0} =\sqrt{1} =1$

Тогда

${\Pi \text{p}}_{l} \bar{a}={\Pi \text{p}}_{\bar{b}} \bar{a}=\frac{3}{1} =3$

Ответ

${\Pi \text{p}}_{l} \bar{a}=3$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Проекция вектора на ось

Определение и формула проекции вектора на ось

Примеры нахождения проекции вектора на ось