Разложение вектора по базису

Определение и формулы разложения вектора по базису

Если для произвольного вектора $\bar{a}$ и произвольной системы векторов $\left\{\bar{e}_{1} ,\; \bar{e}_{2} ,...,\; \bar{e}_{n} \right\}$ выполняется равенство

$\bar{a}=a_{1} \cdot \bar{e}_{1} +a_{2} \cdot \bar{e}_{2} +...+a_{n} \cdot \bar{e}_{n} \ \ \ \ (1)$

то говорят, что вектор $\bar{a}$ является линейной комбинации указанной системы векторов.

Если система векторов $\left\{\bar{e}_{1} ,\; \bar{e}_{2} ,...,\; \bar{e}_{n} \right\}$ является базисом некоторого векторного пространства (то есть векторы $\bar{e}_{1} ,\; \bar{e}_{2} ,...,\; \bar{e}_{n}$ – упорядоченная линейно независимая система векторов, и добавление к ней хотя бы одного вектора делает ее линейно зависимой), тогда разложение (1) называется разложением вектора $\bar{a}$ по базису $\bar{e}_{1} ,\; \bar{e}_{2} ,...,\; \bar{e}_{n}$ .

Коэффициенты $a_{1} ,\; a_{2} ,...,\; a_{n}$ линейной комбинации (1) называются координатами вектора $\bar{a}$ в базисе $\left\{\bar{e}_{1} ,\; \bar{e}_{2} ,...,\; \bar{e}_{n} \right\}$ .

Примеры разложения вектора по базису

ПРИМЕР

Задание	Известно разложение вектора $\bar{a}$ по базису $\left\{\bar{e}_{1} ,\; \bar{e}_{2} \right\}:\ \bar{a}=3\bar{e}_{2} -\bar{e}_{1}$ . Найти координаты вектора $\bar{a}$ в указанном базисе.
Решение	Координатами вектора $\bar{a}$ в базисе $\left\{\bar{e}_{1} ,\; \bar{e}_{2} \right\}$ будут соответственно коэффициенты при векторах $\bar{e}_{1}$ и $\bar{e}_{2}$ в разложении этого вектора по базису, то есть имеем: $\bar{a}=\left(-1;\; 3\right)_{\left\{\bar{e}_{1} ,\; \bar{e}_{2} \right\}}$
Ответ	$\bar{a}=\left(-1;\; 3\right)_{\left\{\bar{e}_{1} ,\; \bar{e}_{2} \right\}}$

ТЕОРЕМА

(О разложении вектора по базису). Любой вектор некоторого пространства можно разложить по его базису, причем такое разложение единственно.

Таким образом, чтобы разложить некоторый вектор $\bar{a}$ по базису $\bar{e}_{1} ,\; \bar{e}_{2} ,...,\; \bar{e}_{n}$ , необходимо найти такие коэффициенты $a_{1} ,\; a_{2} ,...,\; a_{n}$ , при которых линейная комбинация базисных векторов $\bar{e}_{1} ,\; \bar{e}_{2} ,...,\; \bar{e}_{n}$ равна вектору $\bar{a}$ :

$a_{1} \cdot \bar{e}_{1} +a_{2} \cdot \bar{e}_{2} +...+a_{n} \cdot \bar{e}_{n} =\bar{a}$

ПРИМЕР

Задание

Написать разложение вектора $\bar{a}=\left(1;\; -1;\; 2\right)$ по векторам $\bar{e}_{1} =\left(2;\; 3;\; 1\right)$ , $\bar{e}_{2} =\left(3;\; 7;\; 2\right)$ , $\bar{e}_{3} =\left(5;\; 4;\; 3\right)$

Решение

Векторы $\bar{a},\; \bar{e}_{1} ,\; \bar{e}_{2} ,\; \bar{e}_{3}$ заданы в одном базисе. Пусть искомое разложение имеет вид:

$\bar{a}=a_{1} \cdot \bar{e}_{1} +a_{2} \cdot \bar{e}_{2} +a_{3} \cdot \bar{e}_{3}$

Запишем это равенство в векторной форме:

$\left(1;\; -1;\; 2\right)=a_{1} \cdot \left(2;\; 3;\; 1\right)+a_{2} \cdot \left(3;\; 7;\; 2\right)+a_{3} \cdot \left(5;\; 4;\; 3\right)$

При умножении вектора на число надо каждую координату этого вектора умножить на указанное число:

$\left(1;\; -1;\; 2\right)=\left(2a_{1} ;\; 3a_{1} ;\; a_{1} \right)+\left(3a_{2} ;\; 7a_{2} ;\; 2a_{2} \right)+\left(5a_{3} ;\; 4a_{3} ;\; 3a_{3} \right)$

Чтобы найти сумму векторов, заданных своими координатами, необходимо просуммировать соответствующие координаты:

$\left(1;\; -1;\; 2\right)=\left(2a_{1} +3a_{2} +5a_{3} ;\; 3a_{1} +7a_{2} +4a_{3} ;\; a_{1} +2a_{2} +3a_{3} \right)$

Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты, то есть получаем следующую систему относительно неизвестных коэффициентов $a_{1} ,\; a_{2} ,\; a_{3}$ разложения:

$\left\{\begin{array}{l} {2a_{1} +3a_{2} +5a_{3} =1,} \\ {3a_{1} +7a_{2} +4a_{3} =-1,} \\ {a_{1} +2a_{2} +3a_{3} =2.} \end{array}\right.$

Найдем решение полученной системы, например, методом Крамера. Основной определитель системы:

$\Delta =\left|\begin{array}{ccc} 2 & 3 & 5 \\ 3 & 7 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right|=2\cdot 7\cdot 3+3\cdot 2\cdot 5+3\cdot 4\cdot 1-1\cdot 7\cdot 5-2\cdot 4\cdot 2-3\cdot 3\cdot 3=6\ne 0$

Вычислим теперь вспомогательные определители системы:

$\Delta _{1} =\left|\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 5 \\ -1 & 7 & 4 \\ 2 & 2 & 3 \end{array}\right|=1\cdot 7\cdot 3+\left(-1\right)\cdot 2\cdot 5+3\cdot 4\cdot 2-2\cdot 7\cdot 5-2\cdot 4\cdot 1-\left(-1\right)\cdot 3\cdot 3=-34;$

$\Delta _{2} =\left|\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 5 \\ 3 & -1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right|=2\cdot \left(-1\right)\cdot 3+3\cdot 2\cdot 5+1\cdot 4\cdot 1-1\cdot \left(-1\right)\cdot 5-2\cdot 4\cdot 2-3\cdot 1\cdot 3=8;$

$\Delta _{3} =\left|\begin{array}{ccc} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 7 & -1 \\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right|=2\cdot 7\cdot 2+3\cdot 2\cdot 1+3\cdot \left(-1\right)\cdot 1-1\cdot 7\cdot 1-2\cdot \left(-1\right)\cdot 2-3\cdot 3\cdot 2=10$

Тогда

$a_{1} =\frac{\Delta _{1} }{\Delta } =\frac{-34}{6} =-\frac{17}{3} ; a_{2} =\frac{\Delta _{2} }{\Delta } =\frac{8}{6} =\frac{4}{3} ; a_{3} =\frac{\Delta _{3} }{\Delta } =\frac{10}{6} =\frac{5}{3}$

Следовательно, искомое разложение

$\bar{a}=-\frac{17}{3} \bar{e}_{1} +\frac{4}{3} \bar{e}_{2} +\frac{5}{3} \bar{e}_{3}$

Ответ

$\bar{a}=-\frac{17}{3} \bar{e}_{1} +\frac{4}{3} \bar{e}_{2} +\frac{5}{3} \bar{e}_{3}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Разложение вектора по базису

Определение и формулы разложения вектора по базису

Примеры разложения вектора по базису