Классическое определение вероятности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Вероятность $P\left(A\right)$ некоторого события A равна отношению числа $m$ благоприятных исходов испытания к числу $n$ всех возможных исходов испытания, то есть имеет место формула

$P\left(A\right)=\frac{m}{n}$

Алгоритм вычисления вероятности по классическому определению

Алгоритм вычисления вероятности по классическому определению вероятности:

определить о каком испытании идет речь в задаче;
четко сформулировать событие, вероятность которого нужно вычислить;
вычислить общее число равновозможных исходов ( $n$ ) данного испытания;
вычислить количество исходов ( $m$ ) благоприятных для рассматриваемого события;
вычислить вероятность события по формуле $P\left(A\right)=\frac{m}{n}$ .

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

В коробке 2 красных, 3 черных и 5 белых шаров. Найти вероятности того, что наугад взятый шар будет: а) красным; б) красным или белым.

Решение

а) Обозначим событие A — «наугад взятый из коробки шар оказался красным». Всего в коробке $2+3+5=10$ шаров, следовательно, $n=10$ . Из них 2 красных, поэтому $m=2$ . По классическому определению вероятности

$P\left(A\right)=\frac{2}{10} =0,2$

б) Пусть событие B — «из коробки достали или красный или белый шар». Из случая а) $n=10$ . Из них 2 красных и 5 белых, следовательно, $m=2+5$ $\Rightarrow$ $m=7$ . По классическому определению вероятности

$P\left(B\right)=\frac{7}{10} =0,7$

Ответ

$P\left(A\right)=0,2$ ; $P\left(B\right)=0,7$

ПРИМЕР 2

Задание

В группе 10 человек, из которых 6 мальчиков и 4 девочки. Необходимо из этих детей отобрать команду из 5 человек. Какая вероятность, что в команде будет 2 мальчика и 3 девочки.

Решение

Обозначим событие A — «в отобранной команде 2 мальчика и 3 девочки». Всего 5 человек из 10 можно выбрать $C_{10}^{5}$ способами, тогда $n=C_{10}^{5}$ . Далее 2 мальчика из 6 можно выбрать $C_{6}^{2}$ способами, а 3 девочки из 4 можно выбрать $C_{4}^{3}$ способами. Используя комбинаторное правило умножения, получим, что всего вариантов образовать команду из 2 мальчиков и 3 девочек $C_{6}^{2} \cdot C_{4}^{3}$ , то есть $m=C_{6}^{2} \cdot C_{4}^{3}$ . По классическому определению вероятности искомая вероятность

$P\left(A\right)=\frac{C_{6}^{2} \cdot C_{4}^{3} }{C_{10}^{5} }$

По формуле для сочетаний $C_{n}^{k} =\frac{n!}{k!\cdot \left(n-k\right)!}$ вычислим

$C_{10}^{5} =\frac{10!}{5!\cdot \left(10-5\right)\, !} =\frac{10!}{5!\cdot 5\, !} =252;$

$C_{6}^{2} =\frac{6!}{2!\cdot \left(6-2\right)\, !} =\frac{6!}{2!\cdot 4\, !} =15;$

$C_{4}^{3} =\frac{4!}{3!\cdot \left(4-3\right)\, !} =\frac{4!}{3!\cdot 1\, !} =4$

Тогда окончательно будет иметь

$P\left(A\right)=\frac{15\cdot 4}{252} =\frac{5}{21}$

Ответ

$P\left(A\right)=\frac{5}{21}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Классическое определение вероятности

Алгоритм вычисления вероятности по классическому определению

Примеры решения задач