Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Теорема о трех перпендикулярах

ТЕОРЕМА
Прямая l, проведенная в плоскости \alpha через основание наклонной m перпендикулярно к её проекции n на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной: l \perp m (рис. 1).
ТЕОРЕМА
Обратная теорема. Если прямая l на плоскости \alpha перпендикулярна наклонной к этой плоскости, то она перпендикулярна и проекции наклонной: l \perp n.

Доказательство теоремы о трех перпендикулярах

Рассмотрим плоскость ABC. Прямая l перпендикулярна к этой плоскости, так как она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым AB и BC, лежащим в плоскости ABC \text{ }( \text{ } l \perp BC по условию и l \perp AB, так как AB \perp \alpha ). Отсюда следует, что прямая l перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости ABC, в частности l \perp m.

Теорема доказана.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В треугольнике ABC угол C прямой, а AD – перпендикуляр к плоскости \Delta ABC. Доказать, что \Delta BCD – прямоугольный.
Решение Сделаем рисунок (рис. 2).

Пусть треугольник \Delta ABC лежит в плоскости \alpha. Так как AD перпендикулярна плоскости \alpha, то AD \perp AC. Прямую CD рассмотрим как наклонную к плоскости \alpha, тогда CA будет проекцией CD на плоскость \alpha.

По условию, так как в \Delta ABC \text{ } \angle C = 90^\circ, то CA \perp CB. Таким образом по теореме о трех перпендикулярах из того что AD \perp AC и AC \perp CB, следует, что CD \perp CB. Получаем, что в \Delta BCD угол C прямой, а значит \Delta BCD – прямоугольный.

Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР 2
Задание Из вершины A квадрата ABCD со стороной 16 см восстановлен перпендикуляр AE длиной 12 см. Доказать, что треугольник BCE – прямоугольный и найти его площадь.
Решение Сделаем рисунок (рис. 3).

Обозначим \alpha – плоскость, в которой лежит квадрат ABCD. По условию AE \perp \alpha, тогда AE \perp AB. Если рассмотреть EB как наклонную к плоскости \alpha, то AB является её проекцией на эту плоскость. Так как ABCD – квадрата, AB \perp BC. С другой стороны BC можно рассматривать как прямую, проведенную в плоскости \alpha через основание наклонной EB перпендикулярную её проекции AB. Тогда по теореме о трех перпендикулярах EB \perp BC и \angle EBC = 90^\circ. Таким образом, \Delta EBC – прямоугольный.

Площадь прямоугольного треугольника EBC можно найти как полупроизведение катетов EB и BC. Для нахождения EB, рассмотрим \Delta AEB. Он прямоугольный, \angle A = 90^\circ, EB в этом треугольнике является гипотенузой. Запишем для этого треугольника теорему Пифагора:

    \[    EB^{2} = AE^{2} + AB^{2} \]

По условию AE=12 см и AB=16 см. Подставляя эти значения в последнее равенство, получим:

    \[    EB^{2} = 12^{2} + 16^{2} \]

    \[    EB^{2} = 144+256 \]

EB^{2} = 400 \text{ } \Rightarrow \text{ } EB = 20 (см)

Формула для нахождения площади \Delta EBC запишется следующим образом

    \[    S_{\Delta EBC} = \frac{1}{2} \cdot EB \cdot BC \]

Подставляя в это равенство заданное значение BC=16 см и найденное значение EB=20 см, получим

(см ^{2})

Ответ S_{\Delta EBC} = 160 см ^{2}