Теорема о трех перпендикулярах

ТЕОРЕМА

Прямая $l$ , проведенная в плоскости $\alpha$ через основание наклонной $m$ перпендикулярно к её проекции $n$ на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной: $l \perp m$ (рис. 1).

ТЕОРЕМА

Обратная теорема. Если прямая $l$ на плоскости $\alpha$ перпендикулярна наклонной к этой плоскости, то она перпендикулярна и проекции наклонной: $l \perp n$ .

Доказательство теоремы о трех перпендикулярах

Рассмотрим плоскость $ABC$ . Прямая $l$ перпендикулярна к этой плоскости, так как она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым $AB$ и $BC$ , лежащим в плоскости $ABC \text{ }( \text{ } l \perp BC$ по условию и $l \perp AB$ , так как $AB \perp \alpha )$ . Отсюда следует, что прямая $l$ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости $ABC$ , в частности $l \perp m$ .

Теорема доказана.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, а $AD$ – перпендикуляр к плоскости $\Delta ABC$ . Доказать, что $\Delta BCD$ – прямоугольный.

Решение

Сделаем рисунок (рис. 2).

Пусть треугольник $\Delta ABC$ лежит в плоскости $\alpha$ . Так как $AD$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ , то $AD \perp AC$ . Прямую $CD$ рассмотрим как наклонную к плоскости $\alpha$ , тогда $CA$ будет проекцией $CD$ на плоскость $\alpha$ .

По условию, так как в $\Delta ABC \text{ } \angle C = 90^\circ$ , то $CA \perp CB$ . Таким образом по теореме о трех перпендикулярах из того что $AD \perp AC$ и $AC \perp CB$ , следует, что $CD \perp CB$ . Получаем, что в $\Delta BCD$ угол $C$ прямой, а значит $\Delta BCD$ – прямоугольный.

Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР 2

Задание

Из вершины $A$ квадрата $ABCD$ со стороной 16 см восстановлен перпендикуляр $AE$ длиной 12 см. Доказать, что треугольник $BCE$ – прямоугольный и найти его площадь.

Решение

Сделаем рисунок (рис. 3).

Обозначим $\alpha$ – плоскость, в которой лежит квадрат $ABCD$ . По условию $AE \perp \alpha$ , тогда $AE \perp AB$ . Если рассмотреть $EB$ как наклонную к плоскости $\alpha$ , то $AB$ является её проекцией на эту плоскость. Так как $ABCD$ – квадрата, $AB \perp BC$ . С другой стороны $BC$ можно рассматривать как прямую, проведенную в плоскости $\alpha$ через основание наклонной $EB$ перпендикулярную её проекции $AB$ . Тогда по теореме о трех перпендикулярах $EB \perp BC$ и $\angle EBC = 90^\circ$ . Таким образом, $\Delta EBC$ – прямоугольный.

Площадь прямоугольного треугольника $EBC$ можно найти как полупроизведение катетов $EB$ и $BC$ . Для нахождения $EB$ , рассмотрим $\Delta AEB$ . Он прямоугольный, $\angle A = 90^\circ$ , $EB$ в этом треугольнике является гипотенузой. Запишем для этого треугольника теорему Пифагора: