Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Теорема Менелая

ТЕОРЕМА
Пусть \Delta ABC пересечен прямой, не параллельной стороне AC и пересекающей две его стороны AB и BC соответственно в точках D и E, а прямую AC в точке F (рис. 1), тогда

    \[    \frac{AD}{DB} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CF}{FA} =1 \]

Обратная теорема Менелая

ТЕОРЕМА
Пусть дан \Delta ABC. Точки D, E и F лежат на продолжениях сторон AB, BC и AC соответственно (рис. 2). Три точки D, E и F лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство

    \[    \frac{AD}{DB} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CF}{FA} =1 \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Задан \Delta ABC. На продолжениях сторон AB, BC и AC лежат, соответственно, точки D, E и F (рис 2), так что DB=CF, AD:EC=2:1 и BE:FA=1:2. Доказать, что точки D, E и F лежат на одной прямой.
Решение Обозначим DB=CF=x, EC=y, BE=z, тогда, по условию, AD=2y и FA=2z. По обратной теореме Менелая, точки D, E и F лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство

    \[    \frac{AD}{DB} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CF}{FA} =1 \]

Проверим выполнение этого равенства для нашего треугольника. Подставляем в него введенные обозначения

    \[    \frac{2y}{x} \cdot \frac{z}{y} \cdot \frac{x}{2z} =1 \]

Сокращая дроби в левой части последнего равенства, приходим к очевидному равенству 1=1. Следовательно, оно выполняется, а точки D, E и F лежат на одной прямой.

Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР 2
Задание В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC=5 см) проведены две высоты AK и BH, которые пересекаются в т.O . Найти отношение AO:OK, если площадь S_{ABC} = 10 см ^{2}.
Решение Сделаем рисунок (рис. 3).

Для площади \Delta ABC имеет место формула:

    \[    S_{ABC} = \frac{1}{2} AK \cdot BC \]

Подставляя в это равенство заданные значения S_{ABC} = 10 см ^{2} и BC=5 см, найдем значение AK

(см)

Далее, рассмотри прямоугольный треугольник AKB (\angle K = 90^\circ). Запишем для него теорему Пифагора:

    \[    AB^{2}=BK^{2}+AK^{2} \]

Подставляя значения AB=5 см и AK=4 см, найдем BK

5^{2}=BK^{2}+4^{2} \text{ } \Rightarrow \text{ } BK^{2}=25-16 \text{ } \Rightarrow \text{ } BK^{2}=9 \text{ } \Rightarrow \text{ } BK = 3 (см)

После этого применим к \Delta AKC и секущей BH теорему Менелая, получим:

    \[    \frac{CH}{HA} \cdot \frac{AO}{OK} \cdot \frac{KB}{BC} =1 \]

Так как BH – высота опущенная на основание равнобедренного треугольника, то она так же является и медианой. Следовательно, CH=HA, а \frac{CH}{HA}=1. По условию BC=5 см, а KB=3 см. Подставляя все эти значения в условие из теоремы Менелая, получим

    \[    1 \cdot \frac{AO}{OK} \cdot \frac{3}{5} =1 \text{ } \Rightarrow \text{ } \frac{AO}{OK} = \frac{5}{3} \]

Ответ AO:OK = 5:3