Теорема Вейерштрасса

ТЕОРЕМА

Любая монотонная и ограниченная последовательность $\left\{ x_{n} \right\}$ имеет предел.

Данную теорему можно сформулировать для возрастающих последовательностей следующим образом:

ТЕОРЕМА

Если последовательность $\left\{ x_{n} \right\}$ является возрастающей и ограниченной сверху, то предел этой последовательности есть её точная верхняя грань:

$\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n} = \sup x_{n}$

Для убывающих последовательностей:

ТЕОРЕМА

Если последовательность $\left\{ x_{n} \right\}$ является убывающей и ограниченной снизу, то предел этой последовательности равен её точной нижней грани:

$\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n} = \inf x_{n}$

Замечание. Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности – это теорема о существовании предела последовательности, и она не дает никаких методов нахождения этого предела.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Доказать, что последовательность $\left\{ x_{n} \right\} = \left\{ \frac{3}{n} \right\}$ имеет предел и найти его.

Решение

Данная последовательность ограничена снизу нулем, так как для любого натурального $n, x_{n} = \frac{3}{n} > 0$ .

$x_{n}-x_{n+1} = \frac{3}{n} - \frac{3}{n+1} = \frac{3n+3-3n}{n(n+1)} = \frac{3}{n(n+1)}$

Далее исследуем заданную последовательность на монотонность, для этого рассмотрим разность соседних её членов:

$\frac{3}{n(n+1)} > 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } x_{n} > x_{n+1}$

Оценим полученную разность: для любого натурального $n$

$\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{3}{n} = \left[ \frac{3}{\infty} \right] = 0$

Следовательно, последовательность $\left\{ x_{n} \right\}$ монотонно убывающая, тогда по теореме Вейерштрасса, она имеет предел. Найдем его:

Ответ

Последовательность $\left\{ x_{n} \right\} = \left\{ \frac{3}{n} \right\}$ сходится и ее предел равен нулю.

ПРИМЕР 2

Задание

Исследовать на сходимость последовательность $a_{n+1} = \sqrt{6+a_{n}}$ , если $a_{1}=2$ .

Решение

Предположим, что предел данной последовательности существует, то есть:

$\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = a \text{ } \Rightarrow \text{ } \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n+1} = a \text{ },\text{ } \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n+1} = \sqrt{6+a}$

Приравнивая правые части последних двух равенств, приходим к уравнению относительно $a$ :

$a = \sqrt{6+a}$

Решая его, получим

$a^{2}-a-6 = 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } (a-3)(a+2) = 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } a_{1}=3 \text{ },\text{ } a_{2}=-2$

Значение $a_{2}=-2$ не подходит, так как предел неотрицательных чисел не может быть отрицательным числом. Следовательно, если предел заданной последовательности существует, то он равен 3.

Докажем существование предела. Для этого, по теореме Вейерштрасса, последовательность должна быть монотонной и ограниченной. Рассмотрим разность

$a_{n}-a_{n+1} = a_{n} - \sqrt{6+a_{n}} = \frac{\left( a_{n} - \sqrt{6+a_{n}} \right) \cdot \left( a_{n} + \sqrt{6+a_{n}} \right)}{a_{n} + \sqrt{6+a_{n}}} =$

$= \frac{a_{n}^{2}-a_{n}-6}{a_{n} + \sqrt{6+a_{n}}} = \frac{(a_{n}-3)(a_{n}+2)}{a_{n} + \sqrt{6+a_{n}}}$

Знаменатель последней дроби положительный для любого значения $n \in N$ , а числитель отрицателен при $0 \leq a_{n} < 3$ . Таким образом, для $0 \leq a_{n} < 3, a_{n}-a_{n+1} < 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } a_{n} < a_{n+1}$ и заданная последовательность является монотонно возрастающей. Получается, что последовательность является возрастающей только до третьего члена?

Для того, чтобы монотонно возрастающая последовательность была ограниченной, необходимо, чтобы она была ограничена сверху. Докажем, что $a_{n} < 3$ , для любого $n \in N$ . Доказательство проведем методом математической индукции.

1 шаг. Проверим, выполнение неравенство при $n=1$ . Действительно,

$a_{1}=2 < 3$

2 шаг. Предположим, что для $n=k$ неравенство выполняется: $a_{k} < 3$ .

3 шаг. Проверим выполнение неравенства для $n=k+1$ :

$a_{k+1} = \sqrt{6+a_{k}} < \sqrt{6+3} = 3 \text{ } \Rightarrow \text{ } a_{k+1} < 3$

Следовательно, доказано, что неравенство $a_{n} < 3$ выполняется для любого $n \in N$ . И по теореме Вейерштрасса заданная последовательность сходится.

Ответ

Последовательность $a_{n+1} = \sqrt{6+a_{n}}$ , $a_{1}=2$ является сходящейся.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Теорема Вейерштрасса

Примеры решения задач