Решение уравнений с дробями

Определение и формулы для решения уравнений с дробями

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Уравнением с дробями называется уравнение, коэффициенты которого есть дробные числа.

Например. $\frac{2}{3} x^{2} -3x+\frac{11}{4} =0$

Линейные уравнения с дробями можно решать по обычной схеме решения такого типа уравнений: неизвестную величину перенести в одну сторону, известные (числа) — в другую.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Решить уравнение $\frac{3}{8} x-\frac{5}{6} =\frac{7x}{12} -\frac{2}{3}$

Решение

Все слагаемые, содержащие неизвестную величину $x$ , собираем в левой части равенства, а все свободные коэффициенты справа. При переносе через знак равенства слагаемые будут менять знак на противоположный:

$\frac{3}{8} x-\frac{7x}{12} =-\frac{2}{3} +\frac{5}{6}$

$\left(\frac{3}{8} -\frac{7}{12} \right)x=-\frac{2}{3} +\frac{5}{6}$

Выполняем действия с дробями в левой и правой частях последнего равенства:

$\frac{9-14}{24} x=\frac{-4+5}{6} \Rightarrow -\frac{5}{24} x=\frac{1}{6}$

Получили простейшее линейное уравнение, делим его левую и правую части на коэффициент при переменной:

$\left. -\frac{5}{24} x=\frac{1}{6} \right|:\left(-\frac{5}{24} \right)\Rightarrow x=\frac{1}{6} :\left(-\frac{5}{24} \right)=-\frac{1}{6} \cdot \frac{24}{5} =-\frac{4}{5}$

Ответ

$x=-\frac{4}{5}$

Иной способ решения — предварительное упрощение уравнения, при котором дробные коэффициенты превращаются в целые. Для этого левую и правую часть рассматриваемого равенства необходимо умножить на общий знаменатель всех дробей.

ПРИМЕР 2

Задание

Решить уравнение $\frac{3}{8} x-\frac{5}{6} =\frac{7x}{12} -\frac{2}{3}$

Решение

Обе части уравнения (каждое слагаемое) умножим на общий знаменатель всех входящих в него дробей. Для знаменателей 8, 6, 12 и 3 таковым является число 24:

$\left. \frac{3}{8} x-\frac{5}{6} =\frac{7x}{12} -\frac{2}{3} \right|\times 24$

$\frac{3}{8} x\cdot 24-\frac{5}{6} \cdot 24=\frac{7x}{12} \cdot 24-\frac{2}{3} \cdot 24\Rightarrow 9x-20=14x-16$

В итоге получили линейное уравнение с целыми коэффициентами. Сведем подобные, для этого слагаемые, содержащие $x$ , перенесем влево; а числа — вправо:

$9x-14x=-16+20\Rightarrow -5x=4$

Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение поделить на известный множитель, тогда

$x=4:\left(-5\right)\Rightarrow x=-\frac{4}{5}$

Ответ

$x=-\frac{4}{5}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Решение уравнений с дробями

Определение и формулы для решения уравнений с дробями

Примеры решения задач