Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Решение квадратных уравнений

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax^{2} +bx+c=0, \ (1)

где коэффициенты a\ne 0,\; b,\; c — некоторые числа, x — неизвестная.

Коэффициент a называется старшим коэффициентом, а cсвободным членом.

Если старший коэффициент a=1, то квадратное уравнение (1) имеет вид x^{2} +px+q=0 и называется приведенным.

Чтобы квадратное уравнение (1) записать в виде (2), необходимо его левую и правую части поделить на старший коэффициент a.

ПРИМЕР 1
Задание Преобразовать квадратное уравнение 3x^{2} +6x-2=0 к приведенному.
Решение Поделим уравнение на старший коэффициент a=3:

    \[\left. 3x^{2} +6x-2=0\right|:3\Rightarrow \frac{3}{3} x^{2} +\frac{6}{3} x-\frac{2}{3} =0\Rightarrow x^{2} +2x-\frac{2}{3} =0\]

Ответ x^{2} +2x-\frac{2}{3} =0

Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Для квадратного уравнения (1) выражение

    \[D=b^{2} -4ac\]

называется дискриминантом.

Если дискриминант D>0, то квадратное уравнение (1) имеет два различных действительных корня:

    \[x_{1,\; 2} =\frac{-b\pm \sqrt{D} }{2a} \]

Если дискриминант D=0, то уравнение имеет два равных действительных корня (или корень кратности два)

    \[x_{1,\; 2} =-\frac{b}{2a} \]

Если дискриминант D<0, то квадратное уравнение (1) действительных корней не имеет, то есть

    \[x\in \emptyset \]

ПРИМЕР 2
Задание Решить уравнение 2x^{2} +x-10=0.
Решение Вычислим дискриминант:

    \[D=1^{2} -4\cdot 2\cdot \left(-10\right)=1+80=81=9^{2} \]

Так как дискриминант D>0, то заданное уравнение имеет два разных действительных корня:

    \[x_{1} =\frac{-1+\sqrt{9^{2} } }{2\cdot 2} =\frac{-1+9}{4} =\frac{8}{4} =2, x_{2} =\frac{-1-\sqrt{9^{2} } }{2\cdot 2} =\frac{-1-9}{4} =-\frac{10}{4} =-\frac{5}{2} \]

Ответ x_{1} =2,\; x_{2} =-\frac{5}{2}

Решение квадратных уравнений с помощью выделения полного квадрата

В левой части уравнения (2) выделим полный квадрат при помощи формулы сокращенного умножения «квадрат суммы/разности»:

    \[ax^{2} +bx+c=a\left(x^{2} +\frac{b}{a} x\right)+c=a\left(x^{2} +2\cdot x\cdot \frac{b}{2a} +\left(\frac{b}{2a} \right)^{2} -\left(\frac{b}{2a} \right)^{2} \right)+c=a\left(x+\frac{b}{2a} \right)^{2} -\frac{b^{2} }{4a} +c\]

Таким образом, уравнение (2) принимает вид:

    \[\left. a\left(x+\frac{b}{2a} \right)^{2} -\frac{b^{2} }{4a} +c=0\right|:a\]

или

    \[\left(x+\frac{b}{2a} \right)^{2} -\left(\frac{b^{2} }{4a^{2} } -\frac{c}{a} \right)=0\]

Если выражение \frac{b^{2} }{4a^{2} } -\frac{c}{a} >0, то применим к левой части последнего равенства формулу «разность квадратов», в результате будем иметь:

    \[\left(x+\frac{b}{2a} -\sqrt{\frac{b^{2} }{4a^{2} } -\frac{c}{a} } \right)\cdot \left(x+\frac{b}{2a} +\sqrt{\frac{b^{2} }{4a^{2} } -\frac{c}{a} } \right)=0\]

Использовав тот факт, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю, придем к следующей совокупности линейных уравнений:

    \[\left[\begin{array}{l} {x+\frac{b}{2a} -\sqrt{\frac{b^{2} -4ac}{4a^{2} } } =0,} \\ {x+\frac{b}{2a} +\sqrt{\frac{b^{2} -4ac}{4a^{2} } } =0} \end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} {x_{1} =-\frac{b}{2a} +\frac{\sqrt{b^{2} -4ac} }{2a} ,} \\ {x_{2} =-\frac{b}{2a} -\frac{\sqrt{b^{2} -4ac} }{2a} .} \end{array}\right. \]

Если выражение \frac{b^{2} }{4a^{2} } -\frac{c}{a} =0, то уравнение запишется в виде

    \[\left(x+\frac{b}{2a} \right)^{2} =0,\]

Оно имеет кратный корень x_{1{\rm ,}\, 2} =-\frac{b}{2a}.

В случае, когда \frac{b^{2} }{4a^{2} } -\frac{c}{a} <0, то квадратное уравнение \eqref{GrindEQ__1_} действительных корней не имеет: x\in \emptyset.

ПРИМЕР 3
Задание Решить уравнение 2x^{2} +x-1=0.
Решение Выделим полный квадрат в левой части заданного уравнения:

    \[2x^{2} +x-1=2\cdot \left(x^{2} +\frac{x}{2} \right)-1=2\cdot \left(x^{2} +2\cdot x\cdot \frac{1}{4} \right)-1=\]

    \[=2\cdot \left(x^{2} +2\cdot x\cdot \frac{1}{4} +\left(\frac{1}{4} \right)^{2} -\left(\frac{1}{4} \right)^{2} \right)-1=2\cdot \left(x+\frac{1}{4} \right)^{2} -\frac{1}{8} -1=2\cdot \left(x+\frac{1}{4} \right)^{2} -\frac{9}{8}\]

То есть исходное уравнение запишется в виде:

    \[\left. 2\cdot \left(x+\frac{1}{4} \right)^{2} -\frac{9}{8} =0,\right|:2\]

Тогда

    \[\left(x+\frac{1}{4} \right)^{2} -\frac{9}{16} =0\Rightarrow \left(x+\frac{1}{4} \right)^{2} -\left(\frac{3}{4} \right)^{2} =0\Rightarrow \]

    \[\Rightarrow \left(x+\frac{1}{4} +\frac{3}{4} \right)\left(x+\frac{1}{4} -\frac{3}{4} \right)=0\Rightarrow \left(x+1\right)\left(x-\frac{1}{2} \right)=0\]

Последнее уравнение распадается на два:

    \[\left[\begin{array}{l} {x+1=0,} \\ {x-\frac{1}{2} =0} \end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} {x_{1} =-1,} \\ {x_{2} =\frac{1}{2} .} \end{array}\right. \]

Ответ x_{1} =-1;\; x_{2} =\frac{1}{2}

Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета

ТЕОРЕМА
Если неприведенное квадратное уравнение (1) имеет два корня x_{1} и x_{2} (а это возможно, когда дискриминант D\ge 0), то имеют место следующие равенства:

    \[\left\{\begin{array}{l} {x_{1} +x_{2} =-\frac{b}{a} ,} \\ {x_{1} \cdot x_{2} =\frac{c}{a} .} \end{array}\right. \]

Если приведенное квадратное уравнение \eqref{GrindEQ__2_} имеет корни x_{1} и x_{2}, то

    \[\left\{\begin{array}{l} {x_{1} +x_{2} =-p,} \\ {x_{1} \cdot x_{2} =q.} \end{array}\right. \]

Следствие. Таким образом, целые решения уравнения \eqref{GrindEQ__2_} являются делителями свободного коэффициента q.

ПРИМЕР 4
Задание Используя теорему Виета, найти корни уравнения x^{2} +x-6=0.
Решение Так как заданное уравнение является приведенным, то его корни x_{1} и x_{2} должны удовлетворять системе

    \[\left\{\begin{array}{l} {x_{1} +x_{2} =-1,} \\ {x_{1} \cdot x_{2} =-6.} \end{array}\right. \]

Решением этой системы являются значения x_{1} =-3,\; x_{2} =2.

Ответ x_{1} =-3,\; x_{2} =2.
ТЕОРЕМА
Обратная к теореме Виета для приведенных квадратных уравнений. Если величины x_{1} и x_{2} удовлетворяют соотношения

    \[\left\{\begin{array}{l} {x_{1} +x_{2} =-p,} \\ {x_{1} \cdot x_{2} =q,} \end{array}\right. \]

то они являются корнями приведенного квадратного уравнения (2).

Решение квадратных уравнений способом переброски коэффициентов

Умножим левую и правую части уравнения (1) на старший коэффициент a:

a^{2} x^{2} +abx+ac=0 или \left(ax\right)^{2} +b\cdot ax+ac=0.

В результате старший коэффициент умножается на свободный член, то есть как бы «перебрасывается» к нему.

Делаем замену

    \[ax=y\Rightarrow x=\frac{y}{a} \]

В результате получаем уравнение

    \[y^{2} +by+ac=0\]

которое является равносильным заданному уравнению (1). Его корни y_{1} та y_{2} находим, если это возможно, по теореме Виета (если нет, то вычисляем дискриминант).

Искомые решения исходного уравнения

    \[x_{1} =\frac{y_{1} }{a} ,\; x_{2} =\frac{y_{2} }{a} \]

ПРИМЕР 5
Задание Решить уравнение 6x^{2} -7x-3=0.
Решение Произведем «перебрасывание» старшего коэффициента a=6. В результате получим уравнение

y^{2} -7y-3\cdot 6=0 или y^{2} -7y-18=0,

здесьy=6x.

Решим полученное уравнение с помощью теоремы Виета:

    \[\left\{\begin{array}{l} {y_{1} \cdot y_{2} =-18,} \\ {y_{1} +y_{2} =-7} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {y_{1} =9,} \\ {y_{2} =-2.} \end{array}\right. \]

Обратная замена:

    \[x_{1} =\frac{y_{1} }{6} =\frac{9}{6} =\frac{3}{2} ,\; x_{2} =\frac{y_{2} }{6} =\frac{-2}{6} =-\frac{1}{3} \]

Ответ x_{1} =\frac{3}{2} ,\; x_{2} =-\frac{1}{3}

Частные случаи квадратных уравнений

Если хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то уравнение (1) называется \textbf{неполным}.

Если b=c=0, то уравнение (1) принимает вид: ax^{2} =0, его кратный корень x_{1,\; 2} =0.

Если b=0,\; c\ne 0, то уравнение (1) запишется в виде ax^{2} +c=0, откуда

    \[x^{2} =-\frac{c}{a} .\]

Если права часть \left(-\frac{c}{a} \right)>0, то уравнение имеет два корня

    \[x_{1,\; 2} =\pm \sqrt{-\frac{c}{a} } \]

В случае же, если \left(-\frac{c}{a} \right)<0\Rightarrow \frac{c}{a} >0, то уравнение корней не имеет: x\in \emptyset.

Если b\ne 0,\; c=0, то уравнение \eqref{GrindEQ__1_} принимает вид ax^{2} +bx=0, откуда

    \[x\left(ax+b\right)=0\Rightarrow \left[\begin{array}{l} {x=0,} \\ {ax+b=0,} \end{array}\right. \]

то есть

    \[x_{1} =0,\; x_{2} =-\frac{b}{a}\]

Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.