Коэффициент упругости

Определение и формула коэффициента упругости

Если под воздействием внешних сил на твердое тело оно деформируется, то в нем происходят смещения частиц узлов кристаллической решетки. Этому сдвигу противостоят силы взаимодействия частиц. Так возникают силы упругости, которые приложены к телу, подвергшемуся деформации. Модуль силы упругости пропорционален деформации:

$dF_{upr}=\sigma dS=K\frac{\Delta x}{x} \qquad (1)$

где $\sigma$ — напряжение при упругой деформации, K — модуль упругости, который равен напряжению при относительной деформации, равной единице. где $\frac{\Delta x}{x}$ — относительная деформация, $\Delta x$ — абсолютная деформация, $x$ — первоначальное значение величины, которая характеризовала форму или размеры тела.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Коэффициентом упругости называют физическую величину, которая связывает в законе Гука удлинение, возникающее при деформации упругого тела и силу упругости. Величина равная $\alpha =\frac{1}{K}$ называется коэффициентом упругости. Она показывает изменение размера тела под воздействием нагрузки при упругой деформации.

Коэффициент упругости зависит от материала тела, его размеров. Так при увеличении длины пружины и уменьшении ее толщины коэффициент упругости уменьшается.

Модуль Юнга и коэффициент упругости

При продольной деформации, в одностороннем растяжении (сжатии) мерой деформации служит относительное удлинение, которое обозначают $\frac{\Delta x}{x}$ или $\frac{\Delta l}{l}$ . При этом модуль силы упругости определяют как:

$F_{upr}=E\frac{\Delta l}{l}S \qquad (2)$

где $E$ — модуль Юнга, который в рассматриваемом случае равен модулю упругости ( $E=K=\frac{1}{\alpha }$ ) и характеризующий упругие свойства тела; $l$ — первоначальная длина тела; $\Delta l$ — изменение длины при нагрузке $F=F_{upr}$ . При $\Delta l=l\ E=\frac{F}{S}=\sigma ;$ S — площадь поперечного сечения образца.

Коэффициент упругости растянутой (сжатой) пружины

При растяжении (сжатии) пружины вдоль оси X закон Гука записывается как:

$F_x=k\Delta x \qquad (3)$

где $F_x$ — модуль проекции силы упругости; $k$ — коэффициент упругости пружины, $x$ — удлинение пружины. Тогда коэффициент упругости — это сила, которую следует приложить к пружине, чтобы изменить ее длину на единицу.

Единицы измерения

Основной единицей измерения коэффициента упругости в системе СИ является:

$\left[k\right]=\frac{H}{m}$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Какова работа, совершается при сжатии пружины на величину $l_0$ ? Считать, что сила упругости пропорциональна сжатию, коэффициент упругости пружины равен k.

Решение

В качестве основной формулы используем определение работы вида:

$A=\int^{l_0}_0{\overline{F}d\overline{l}=-\int^{l_0}_0{Fdl \qquad \left(1.1\right).}}$

Сила по условию пропорциональна величине сжатия, что математически можно представить как:

$F=-kl\left(1.2\right)$

Подставим выражения для силы (1.2) в формулу (1.1):

$A=\int^{l_0}_0{-Fdl=\int^{l_0}_0{kldl=\frac{k{l_0}^2}{2}.}}$

Ответ

$A=\frac{k{l_0}^2}{2}$

ПРИМЕР 2

Задание

Вагон массой $m$ двигался со скоростью $v$ . Он ударился о стенку. При ударе каждый буфер вагона сжался на l м. Буферов два. Каковы коэффициенты упругости пружин, если считать, что они равны?