Коэффициент жесткости пружины

Определение и формула коэффициента жесткости пружины

Сила упругости ( ${\overline{F}}_{upr}$ ), которая возникает в результате деформации тела, в частности пружины, направленная в сторону противоположную перемещению частиц, деформируемого тела, пропорциональна удлинению пружины:

${\overline{F}}_{upr}=-kx\left(1\right)$

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Коэффициент пропорциональности ( $k$ ) в формуле (1), которая называется законом Гука, называется коэффициентом упругости (коэффициентом жесткости) пружины. Коэффициент жесткости численно равен силе, которую следует приложить к пружине для того, чтобы ее длина изменилась на единицу:

$k=\frac{F_{upr}}{x}\left(2\right),$

где $x$ — удлинение пружины при деформации.

Он зависит от формы тела, его размеров, материала из которого изготовлено тело (пружина).

Иногда коэффициент жесткости обозначают буквами D и с.

Величина коэффициента жёсткости пружины указывает на устойчивость ее к действию нагрузок и насколько велико ее сопротивление при воздействии.

Коэффициент жесткости соединений пружин

Если некоторое число пружин соединить последовательно, то суммарную жесткость такой системы можно вычислить как:

$\frac{1}{k}=\sum^N_{i=1}{\frac{1}{k_i}}\left(3\right)$

В том случае, если мы имеем дело с n пружинами, которые соединены параллельно, то результирующую жесткость получают как:

$k=\sum^N_{i=1}{k_i}\left(4\right)$

Коэффициент жесткости цилиндрической пружины

Рассмотрим пружину в виде спирали, которая сделана из проволоки с сечением круг. Если рассматривать деформацию пружины как совокупность элементарных сдвигов в ее объеме под воздействие сил упругости, то коэффициент жесткости можно вычислить при помощи формулы:

$k=\frac{r^4}{4R^3}\frac{G}{n}\left(5\right),$

где $R$ — радиус пружины, $n$ — количество витков в пружине, $r$ — радиус проволоки, $G$ — модуль сдвига (постоянная, которая зависит от материала).

Единицы измерения

Основной единицей измерения коэффициента жесткости в системе СИ является:

$\left[k\right]=\frac{H}{m}=\frac{kg}{c^2}$

В СГС:

$\left[k\right]$ = дин/см

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Радиус цилиндрической пружины 10 мм, радиус проволоки из которой она изготовлена 0,8 мм количество витков равно 50. Каков коэффициент жесткости пружины, если она выполненная из пружинной стали $G=78500\cdot {10}^6$ Па.

Решение

В качестве основы для решения задачи примем формулу:

$k=\frac{r^4}{4R^3}\frac{G}{n}\left(1.1\right)$

Переведем имеющиеся данные в единицы системы СИ:

$R=10mm={10}^{-2}m;\ r=8\cdot {10}^{-4}m$

Проведем вычисления:

$k=\frac{{(8\cdot {10}^{-4})}^4}{4{({10}^{-2})}^3}\frac{7,85\cdot {10}^{10}}{50}\approx 161\ (\frac{H}{m})$

Ответ

$k\approx 161\ (\frac{H}{m})$

ПРИМЕР 2

Задание

На рис.1 приведены графики функций $x(F_{upr})$ , где $x$ — удлинение пружины, при воздействии на нее упругой силы, модуль которой равен $F_{upr}$ для двух пружин из меди и стали. Найдите отношение жесткостей данных пружин.