Коэффициент Пуассона

Определение и формула коэффициента Пуассона

Обратимся к рассмотрению деформации твердого тела. В рассматриваемом процессе происходит изменение размеров, объема и часто формы тела. Так, относительное продольное растяжение (сжатие) объекта происходит при его относительном поперечном сужении (расширении). При этом продольная деформация определена формулой:

$\varepsilon =\frac{l-l_0}{l_0}\left(1\right),$

где $l_0$ — длина образца до деформации, $\Delta l=l-l_0$ — изменение длины при нагрузке.

Однако, при растяжении (сжатии) происходит не только изменение длины образца, но и при этом меняются поперечные размеры тела. Деформация в поперечном направлении характеризуется величиной относительного поперечного сужения (расширения):

${\varepsilon }_{\bot }=\frac{d-d_0}{d_0}\left(2\right),$

где $d_0$ — диаметр цилиндрической части образца до деформации (поперечный размер образца).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Коэффициентом Пуассона называют абсолютную величину, равную частному относительного поперечного сужения (расширения) ( ${\varepsilon }_{\bot }$ ) к относительному продольному удлинению (сжатию) ( $\varepsilon$ ). Обозначают коэффициент Пуассона обычно буквами: $\mu$ , $\nu$ . Встречаются и другие обозначения. Математически определение коэффициента Пуассона выглядит как:

$\mu =\left|\frac{{\varepsilon }_{\bot }}{\varepsilon }\right|(3)$

Эмпирически получено, что при упругих деформациях выполняется равенство:

${\varepsilon }_{\bot }=-\mu \varepsilon \left(4\right)$

Коэффициент Пуассона в совокупности с модулем Юнга (E) является характеристикой упругих свойств материала.

Коэффициент Пуассона при объемной деформации

Если коэффициент объемной деформации ( ${\varepsilon }_V$ ) принять равным:

${\varepsilon }_V=\frac{\Delta V}{V_0}\left(5\right),$

где $\Delta V=V-V_0$ — изменение объема тела, $V_0$ — первоначальный объем тела. То при упругих деформациях выполняется соотношение:

${\varepsilon }_V={\left(1-\varepsilon \mu \right)}^2\left(1+\varepsilon \right)-1\left(6\right)$

Часто в формуле (6) отбрасывают члены малых порядков и используют в виде:

${\varepsilon }_V=\varepsilon \left(1-2\mu \right)\left(7\right)$

Для изотропных материалов коэффициент Пуассона должен находиться в пределах:

$-1\le \mu \le 0,5$

Существование отрицательных значений коэффициента Пуассона означает, что при растяжении поперечные размеры объекта могли бы увеличиваться. Это возможно при наличии физико-химических изменений в процессе деформации тела. Материалы, у которых коэффициент Пуассона меньше нуля называют ауксетиками.

Максимальная величина коэффициента Пуассона является характеристикой более эластичных материалов. Минимальное значение его относится к хрупким веществам. Так стали имеют коэффициент Пуассона от 0,27 до 0,32. Коэффициент Пуассона для резин варьируется в пределах: 0,4 — 0,5.

Коэффициент Пуассона и пластическая деформация

Выражение (4) выполняется и при пластических деформациях, однако в таком случае коэффициент Пуассона зависит от величины деформации:

${\varepsilon }_{\bot }=-\mu (\varepsilon )\varepsilon \left(8\right)$

С ростом деформации и возникновении существенных пластических деформаций $\mu (\varepsilon )\to 0,5.$ Опытным путем установлено, что пластическая деформация происходит без изменения объема вещества, так как этот вид деформации возникает за счет сдвигов слоев материала.

Единицы измерения

Коэффициент Пуассона — это физическая величина, не имеющая размерности.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Резиновый шланг имеет длину $l_0$ и внутренний диаметр $d_0$ . Шланг растянули, при этом его длина увеличилась на $\Delta l$ . Коэффициент Пуассона материала шланга равен $\mu .$ Каким стал внутренний диаметр шланга (d) в натянутом состоянии?

Решение

Если шланг растянули, то его внутренний диаметр уменьшился на величину ( $\Delta d$ ), равную:

$\Delta d=\beta d_0\frac{F}{S}=\mu \alpha \cdot d_0\frac{F}{S}\left(1.1\right),$

где $F$ — растягивающая сила, S — площадь поперечного сечения, $\beta =\mu \alpha$ — коэффициент поперечного сжатия, $\alpha =\frac{1}{E}$ — коэффициент упругости, $E$ — модуль Юнга.

По закону Гука мы имеем:

$\frac{\Delta l}{l_0}=\alpha \frac{F}{S}\left(1.2\right)$

В таком случае из (1.1) и (1.2) получим:

$\Delta d=\mu \alpha \cdot d_0\frac{\Delta l}{{\alpha l}_0}=\mu \cdot d_0\frac{\Delta l}{l_0}\left(1.3\right)$

Так как $d=d_0-\Delta d$ , то искомая величина равна:

$d{=d}_0-\mu \cdot d_0\frac{\Delta l}{l_0}=\left(1-\frac{\mu \Delta l}{l_0}\right)$

Ответ

$d=d_0\left(1-\frac{\mu \Delta l}{l_0}\right)$

ПРИМЕР 2

Задание

Проволока из металла, имеющая коэффициент Пуассона $\sigma$ висит вертикально. Каким будет изменение объема проволоки, если к ней привязать груз, имеющий массу $m$ . Длина проволоки $l_0.$ Модуль Юнга для данной проволоки равен E.

Решение

Будем считать имеющуюся проволоку цилиндрической. Тогда объем проволоки до растяжения будет равен:

$V_0=\pi r^2_0l_0\left(2.1\right)$

Растянутая проволока имеет объем равный:

$V=\pi {\left(r_0-\Delta r\right)}^2\left(l_0+\Delta l\right)\left(2.2\right)$

Изменение объема проволоки будет равно:

$\Delta V=V-V_0=\pi {\left(r_0-\Delta r\right)}^2\left(l_0+\Delta l\right)-\pi r^2_0l_0\ \left(2.3\right)$

Величинами $\Delta r^2,\ \frac{2\Delta r\Delta l}{r_0l_0}$ можно пренебречь, так как они очень малы, тогда выражение (2.3) можно записать как:

$\Delta V=\pi {r_0}^2l_0\frac{\Delta l}{l_0}\left(1-\frac{2\Delta rl_0}{r_0\Delta l}\right)\left(2.4\right)$

Учтем выражение (2.1) и то, что в наших обозначениях коэффициент Пуассона равен:

$\mu =\frac{\Delta rl_0}{r_0\Delta l}\left(2.5\right),$

то (2.4) примет вид:

$\Delta V=V_0\frac{\Delta l}{l_0}\left(1-2\mu \right)\left(2.6\right)$

Из закона Гука имеем:

$\frac{\Delta l}{l_0}=\frac{P}{E}\left(2.7\right),$

где $P=\frac{F_{upr}}{S_0}$ — нормальное напряжение. Рассмотрим рис.1, определим, чему равна сила упругости, которая возникает при растяжении нашей проволоки. Сила упругости будет равна по модулю силе реакции подвеса, который действует на растягивающий груз и направлена в противоположную сторону (третий закон Ньютона). Рассмотри силы, действующие на груз.