Коэффициент сжимаемости

Определение и формула коэффициента сжимаемости

Сжимаемостью называют свойство материи к изменению объема под воздействием равномерного внешнего давления. Характеристикой сжимаемости является коэффициент сжимаемости. Его так же называют коэффициентом сжатия, коэффициентом всестороннего сжатия, коэффициентом объемного упругого расширения. Сжимаемость является важной характеристикой вещества, так как она дает возможность судить о зависимости физических свойств от расстояний между его атомами (молекулами).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Коэффициентом сжимаемости называют скалярную физическую величину, равную отношению относительного изменения объема ( $\frac{\Delta V}{V}$ ) к изменению давления ( $\Delta p$ ), которое и вызывает изменение объема вещества.

Обозначения коэффициента сжимаемости могут быть различными, чаще всего встречаются: $\beta ,\ \chi$ . В математической форме определение коэффициента сжимаемости запишем как:

$\chi =-\frac{\Delta V}{V\Delta p}\left(1\right),$

где знак минус означает, что рост давления ведет к уменьшению объема и наоборот.

Перейдя к дифференциалам коэффициент сжимаемости, будет определен как:

$\chi =-\frac{dV}{Vdp}\left(2\right)$

Коэффициент сжимаемости можно выразить через такую характеристику вещества как плотность ( $\rho$ ):

$\chi =\frac{d\rho }{\rho dp}\left(3\right)$

В механике грунтов коэффициент сжимаемости определяют как:

$\chi =-\frac{de}{dp}\left(4\right),$

где $e$ — коэффициент пористости. Знак минус указывает на то, что увеличение давления ведет к уменьшению пористости.

Коэффициент сжимаемости зависит от вида вещества (его природы), температуры, давления. Кроме того, процесс в котором происходит сжатие, так же влияет на величину рассматриваемого коэффициента. Поэтому часто индексом обозначают процесс, например, изотермический, коэффициент сжатия при этом называют изотермическим коэффициентом сжатия ( ${\chi }_T$ ):

${\chi }_T=-\frac{1}{V}{\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)}_T\left(5\right),$

где частная производная от объема взята при постоянной температуре.

Коэффициенты сжимаемости для твердых тел, жидкостей и газов

Эмпирически полученные результаты коэффициентов сжимаемости твердых тел отражают периодическую зависимость от атомного веса элемента. Сжимаемость твердого тела можно определять при помощи измерения линейной деформации твердого тела под гидростатическим давлением. Для изотропного тела коэффициент линейной сжимаемости находят как:

$\chi \approx 3\frac{1}{L}\left(\frac{\Delta L}{\Delta p}\right)\left(6\right),$

где L — линейный размер тела.

У жидкостей сжимаемость существенно меньше, чем у газов. Это видно из кривой уравнения Ван-дер-Ваальса. На рис.1 жидкой фракции вещества соответствует участок AB. Крутизна данного участка говорит о том, что производная $\frac{dV}{dp}$ является малой величиной, следовательно, мал коэффициент $\chi$ .

Рис. 1

Коэффициент сжимаемости жидкостей лежит в пределах интервала: ${10}^{-5}\le \chi \le {10}^{-4}\frac{1}{atm}$ . Наибольшую сжимаемость среди жидкостей имеет жидкий гелий. Коэффициент сжимаемости зависит от давления и уменьшается с ростом давления. При обычных давлениях коэффициенты сжимаемости разных жидкостей существенно различны, тогда как при высоких давлениях величины $\chi$ всех жидкостей почти одинаковы. Коэффициент сжимаемости жидкости зависит от температуры: коэффициент сжимаемости увеличивается при росте температуры (исключение составляет вода). Для жидкостей используют следующую эмпирическую формулу вычисления коэффициента сжимаемости:

$\chi =\frac{A}{V\left(p+p_T\right)}\left(7\right),$

где A — некоторая функция температуры, p — внешнее давление, $p_T$ — давление, связанное с силами Ван-дер-Ваальса при температуре T. Выражение (7) является приближенной и используется для ограниченной области давлений. Сжимаемость растворов уменьшается при росте концентрации.

При давлениях близких к атмосферному сжимаемостью жидкости в гидравлических расчетах часто пренебрегают и учитывают ее только в особенных случаях, например, рассматривая явление гидроудара.

Изотермический коэффициент сжимаемости идеального газа равен:

${\chi }_T=-\frac{1}{p}\left(8\right)$

Сжимаемость газа велика, в сравнении с жидкостями и твердыми телами.

Единицы измерения

Основной единицей измерения коэффициента сжимаемости в системе СИ является:

$\left[\chi \right]=\frac{m^2}{H}=\frac{1}{Pa}$

В СГС:

$\left[\chi \right]$ =см²/дин

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Что такое пьезометр?

Решение

Пьезометром называют прибор (установку), который служит для измерения сжимаемости. Простейший пьезометр изображен на рис.2. Он служит для измерения коэффициента сжимаемости жидкости при не слишком высоких давлениях. Жидкость, которая исследуется, заливается в сосуд A и она же заполняет капилляр а. Сосуд помещается в камеру В, в которой создано повышенное давление. Оно измеряется манометром М. На стенки сосуда А действуют давления изнутри и снаружи одинаковые. Объем сосуда от приложенного давления не изменяется. Под действие приложенного давления объем жидкости в сосуде А уменьшится и это становится заметным по понижению столба жидкости в капилляре а. Так как коэффициент сжимаемости жидкости довольно мал, то без капилляра изменение объема жидкости сложно заметить. Если площадь сечения капилляра S, уровень жидкости понизился на $\Delta h$ , то изменение объема равно S $\Delta h$ . Коэффициент сжимаемости вычисляется, если известен начальный объем жидкости, по манометру находят изменение давления.

Рис. 2

ПРИМЕР 2

Задание

Каким будет коэффициент сжимаемости мелкого песка, если начальный коэффициент его пористости равен $e_0$ , а модуль общей деформации $E_0?$

Решение

Модулем общей деформации называют коэффициент пропорциональности относительной деформации и вертикального давления. Он применяется при расчете осадки грунта. Модуль общей деформации грунта можно определить применяя коэффициент сжимаемости:

$E_0=\frac{1+e_0}{\chi \gamma }\left(2.1\right),$

где $\gamma$ — поправка, которая учитывает отсутствие поперечного расширения грунта (ее берут из справочных таблиц, зная вид грунта (мелкий песок, супесь, суглинок, глина)).

Из выражения (2.1) получим коэффициент сжимаемости:

$\chi =\frac{1+e_0}{E_0\gamma }$

Ответ