Коэффициент вязкости

Определение и формула коэффициента вязкости

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Вязкостью называют один из видов явлений переноса. Она связана со свойством текучих веществ (газов и жидкостей), сопротивляться перемещению одного слоя относительно другого. Это явление вызывается движением частиц, которые составляют вещество.

Выделяют динамическую вязкость и кинематическую.

Рассмотрим движение газа, обладающего вязкостью как перемещение плоских параллельных слоев. Будем считать, что изменение скорости движения вещества происходит по направлению оси X, которая перпендикулярна к направлению скорости движения газа (рис.1).

Рис. 1

В направлении оси Y скорость движения во всех точках одинакова. Значит, скорость является функцией $x$ . В таком случае, модуль силы трения между слоями газа (F), которая действует на единицу площади поверхности, которая разделяет два соседних слоя, описывается уравнением:

$\ F=\eta \left|\frac{dv}{dx}\right|\left(1\right),$

где $\frac{dv}{dx}$ — градиент скорости ( $v$ ) по оси X. Ось X перепендикулярна направлению движения слоев вещества (рис.1).

Определение

Коэффициент ( $\eta$ ), входящий в уравнение (1) называется коэффициентом динамической вязкости (коэффициентом внутреннего трения). Он зависит от свойств газа (жидкости). $\eta$ численно равен количеству движения, которое переносится в единицу времени через площадку единичной площади при градиенте скорости равном единице, в направлении перпендикулярном площадке. Или $\eta$ численно равен силе, которая действует на единицу площади при градиенте скорости, равном единице.

Внутренне трение — причина того, что для течения газа (жидкости) сквозь трубу необходима разность давлений. При этом, чем больше коэффициент вязкости вещества, тем больше должна быть разность давлений для придания заданной скорости течению.

Коэффициент кинематической вязкости обычно, обозначают $\nu$ . Он равен:

$\nu =\frac{\eta }{\rho }\left(2\right),$

где $\rho$ — плотность газа (жидкости).

Коэффициент внутреннего трения газа

В соответствии с кинетической теорией газов коэффициент вязкости можно вычислить при помощи формулы:

$\eta =\frac{1}{3}\left\langle v\right\rangle \left\langle \lambda \right\rangle \rho \left(3\right),$

где $\left\langle v\right\rangle$ — средняя скорость теплового движения молекул газа, $\left\langle \lambda \right\rangle$ — средняя длина свободного пробега молекулы. Выражение (3) показывает, что при низом давлении (разреженный газ) вязкость почти не зависит от давления, так как $\rho \sim p,\ а\ \lambda \sim \frac{1}{p}.$ Но такой вывод справедлив до момента, пока отношение длины свободного пробега молекулы к линейным размерам сосуда не станет приблизительно равным единице. При увеличении температуры вязкость газов обычно растет, так как $\left\langle v\right\rangle \sim \sqrt{T}.$

Коэффициент вязкости жидкостей

Считая, что коэффициент вязкости определен силами взаимодействия молекул вещества, которые зависят от среднего расстояния между ними, то коэффициент вязкости определяют экспериментальной формулой Бачинского:

$\eta =\frac{A}{V_{\mu }-B}\left(4\right),$

где $V_{\mu }$ — молярный объем жидкости, А и B — постоянные величины.

Вязкость жидкостей с ростом температуры уменьшается, при увеличении давления растет.

Формула Пуазейля

Коэффициент вязкости входит в формулу, которая устанавливает зависимость между объемом (V) газа, который протекает в единицу времени через сечение трубы и необходимой для этого разностью давлений ( $\Delta p$ ):

$V=\frac{\pi R^4}{8\eta }\frac{\Delta p}{l}\left(5\right),$

где $l$ — длина трубы, $R$ — радиус трубы.

Число Рейнольдса

Характер движения газа (жидкости) определяется безразмерным числом Рейнольдса ( $Re$ ):

$Re=\frac{Dv\rho }{\eta }=\frac{Dv}{\nu }\left(6\right),$

$D$ — величина, которая характеризует линейные размеры тела, обтекаемого жидкостью (газом).

Единицы измерения коэффициента вязкости

Основной единицей измерения коэффициента динамической вязкости в системе СИ является:

$\left[\eta \right]$ =Па• c

В СГС:

$\left[\eta \right]$ =пуаз

1Па• c=10 пуаз

Основной единицей измерения коэффициента кинематической вязкости в системе СИ является:

$\left[\nu \right]{\rm =}\frac{m^2}{{\rm c}}$

В СГС:

$\left[\nu \right]=\frac{cm^2}{c}$ =стокc

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Динамически вязкость воды равна $\eta =0,001$ Па•с. Какая величина предельного диаметра трубы позволит течению воды остаться ламинарным, если за 1 с через поперечное сечение вытекает объем воды равный $V=200\ \frac{{cm}^3}{c}=2\cdot {10}^{-4}\frac{m^3}{c}$ ?

Решение

Условие ламинарности течения жидкости имеет вид:

$Re\le 3000\ \left(1.1\right)$

Где число Рейнольдса найдем по формуле:

$Re=\frac{Dv\rho }{\eta }\left(1.2\right)$

Скорость течения воды найдем как:

$v=\frac{l}{t}\left(1.3\right)$

В выражении (1.3) $l$ — высота водяного цилиндра, имеющего объем $V$ :

$V=\frac{\pi D^2l}{4}\to l=\frac{4V}{\pi D^2}\to v=\frac{4V}{\eth D^2t}\left(1.4\right)$

По условию $t$ =1 с.

Подставим в выражение для числа Рейнольдса скорость (1.4), имеем:

$Re=\frac{D\rho }{\eta }\frac{4V}{\pi D^2}=\frac{\rho }{\eta }\frac{4V}{\pi D}\le 3000\to D\le \frac{\rho 4V}{3000\eta \pi }$

Плотность воды при н.у. $\rho =1000$ кг/м³.

Проведем вычисления, получим:

$D\le \frac{1000\cdot 4\cdot 2\cdot {10}^{-4}}{3000\cdot 0,001\cdot 3,14}\approx 0,089(m)$

Ответ

$D\le 0,089$ м

ПРИМЕР 2

Задание

Шарик, имеющий плотность ${\rho }_{sh}$ и диаметр d всплывает в жидкости плотности $\rho$ со скоростью $v=const$ . Какова кинематическая вязкость жидкости?

Решение

Сделаем рисунок.

Рис 2.

Запишем второй закон Ньютона, для сил, действующих на шарик:

${\overrightarrow{F}}_A+m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{F}=0\left(2.1\right),$

где $\left|{\overrightarrow{F}}_A\right|=\rho Vg$ — сила Архимеда, $\left|\overrightarrow{F}\right|=6\pi \eta rv$ — сила Стокса. В проекции на ось Y выражение (2.1) имеет вид: