Коэффициент сжатия

Определение и формула коэффициента сжатия

Любое вещество под воздействием внешнего давления может сжиматься, то ест в той или иной степени изменят свой объем. Так, газы при увеличении давления могу очень существенно уменьшать свой объем. Жидкость подвержена изменению объема при изменении внешнего давления в меньшей степени. Еще меньше сжимаемость у твердых тел. Сжимаемость отражает зависимость физических свойств вещества от расстояний между его молекулами (атомами). Сжимаемость характеризуют при помощи коэффициента сжатия (Тоже самое: коэффициент сжимаемости, коэффициент всестороннего сжатия, коэффициент объемного упругого расширения).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Коэффициент сжатия — это физическая величина, равная относительному изменению объема, деленному на изменение давления, которое вызывает изменение объема вещества.

Встречаются различные обозначения коэффициента сжатия, чаще всего это буквы $\beta$ или $\chi$ . В виде формулы коэффициент сжатия запишем как:

$\beta =-\frac{\Delta V}{V\Delta p}\left(1\right),$

где знак минус отражает тот факт, что увеличение давления ведет к уменьшению объема и наоборот. В дифференциальной форме коэффициент $\beta$ определяют как:

$\beta =-\frac{dV}{Vdp}\left(2\right)$

Объем связан с плотностью вещества, поэтому для процессов изменения давления при постоянной массе, можно записать:

$\beta =\frac{d\rho }{\rho dp}\left(3\right)$

Величина коэффициента сжатия зависит от природы вещества, его температуры и давления. Помимо всего выше сказанного коэффициент сжатия зависит от вида процесса, в котором происходит изменение давления. Так, в изотермическом процессе коэффициент сжатия отличается от коэффициента сжатия в адиабатном процессе. Изотермический коэффициент сжатия определяют как:

${\beta }_T=-\frac{1}{V}{\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)}_T\left(4\right),$

где ${\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)}_T$ — частная производная при T=const.

Адиабатический коэффициент сжатия можно найти как:

${\beta }_S=-\frac{1}{V}{\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)}_S\left(5\right),$

где ${\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)}_S$ — частная производная при постоянной энтропии (S). Для твердых веществ коэффициент сжимаемости изотермический и адиабатический различается очень мало и этим различием часто пренебрегают.

Между адиабатическим и изотермическим коэффициентами сжимаемости существует связь, которая отражается уравнением:

${\beta }_S=\frac{C_V}{C_p}{\beta }_T\left(6\right),$

где $C_V$ и $C_p$ — теплоемкости при постоянном объеме и давлении.

Единицы измерения коэффициента сжатия

Основной единицей измерения коэффициента сжимаемости в системе СИ является:

$\left[\chi \right]=\frac{m^2}{H}=\frac{1}{Pa}$

В СГС:

$\left[\chi \right]$ =см²/дин

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Пусть куб из твердого вещества со стороной равной $l$ испытывает всестороннее давление. Сторона куба при этом уменьшается на $\Delta l$ . Выразите коэффициент сжатия куба, если оказываемое на него давление изменяется по отношению к начальному на $\Delta p.$

Решение

Сделаем рисунок.

Рис. 1

В соответствии с определением коэффициента сжатия запишем:

$\beta =-\frac{\Delta V}{V\Delta p}\left(1.1\right),$

Так как изменение стороны куба, вызванное давлением равно $\Delta l$ , то объем куба после сжатия ( $V_2$ ) можно представить как:

$V_2={\left(l+\Delta l\right)}^3\left(1.2\right)$

Следовательно, относительное изменение объема запишем как:

$\frac{\Delta V}{V}=\frac{{\left(l+\Delta l\right)}^3-l^3}{l^3}=3\frac{\Delta l}{l}+3{\left(\frac{\Delta l}{l}\right)}^2+3{\left(\frac{\Delta l}{l}\right)}^3\left(1.3\right)$

Величина $\frac{\Delta l}{l}$ мала, поэтому считаем, что $3{\left(\frac{\Delta l}{l}\right)}^2и\ 3{\left(\frac{\Delta l}{l}\right)}^3$ равны нулю, тогда можно положить, что:

$\frac{\Delta V}{V}\approx 3\frac{\Delta l}{l}\left(1.4\right)$

Подставим относительное изменение объема из (1.4) в формулу (1.1), имеем:

$\beta =-3\frac{\Delta l}{l\Delta p}$

Ответ

Для твердого тела можно считать, что $\beta \approx -3\frac{\Delta l}{l\Delta p},$ где $l$ — линейный размер тела.

ПРИМЕР 2

Задание

В герметичном сосуде находится жидкость. Температурный коэффициент расширения жидкости равен $\alpha$ . Температуру увеличивают на величину $\Delta T,$ при этом давление увеличивается на $\Delta p$ . Каков коэффициент сжимаемости данной жидкости?

Решение

Изменение объема жидкости при нагревании можно найти как:

$V=V_0\left(1+\alpha \Delta T\right)\to \Delta V=V_0\alpha \Delta T\left(2.1\right)$

Так как жидкость находится в герметичном сосуде, то будет расти давление. Найдем модуль коэффициент сжимаемости по формуле:

$\chi =\frac{\Delta V}{V\Delta p}\left(2.2\right),$

Подставим (2.1) в выражение (2.2):

$\chi =\frac{V_0\alpha \Delta T}{V_0\left(1+\alpha \Delta T\right)\Delta p}=\frac{\alpha \Delta T}{\left(1+\alpha \Delta T\right)\Delta p}$

Ответ

$\chi =\frac{\alpha \Delta T}{\left(1+\alpha \Delta T\right)\Delta p}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Коэффициент сжатия

Определение и формула коэффициента сжатия

Единицы измерения коэффициента сжатия

Примеры решения задач