Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Формула адиабатического сжатия

Формула первого начала термодинамики для адиабатического сжатия

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Процесс уменьшения объема термодинамической системы без обмена теплотой с окружающей средой называют адиабатическим сжатием.

Первое начало термодинамики в интегральном виде для такого процесса записывают как:

    \[\Delta Q=0;\ A=-\Delta U\ \qquad(1)\]

где A – работа системы; \Delta U – изменение внутренней энергии.

Адиабатическое сжатие происходит при постоянной теплоемкости тела, равной нулю.

Рассмотрим в качестве термодинамической системы идеальный газ. При адиабатическом сжатии (\Delta V<0) происходит увеличении температуры газа, то есть \Delta T>0. Происходит адиабатический нагрев.

Адиабатическое сжатие в идеальном газе можно описывать, используя уравнение Менделеева – Клапейрона:

    \[pV=\nu RT \qquad(2)\]

Или уравнение состояния идеального газа в форме:

    \[p=nkT\ \qquad(3)\]

где n – концентрация вещества; k – постоянная Больцмана.

Однако часто применяют специальные уравнения, которые легко получить из первого начала термодинамики и которые могут описывать адиабатическое сжатие, используя только два параметра термодинамической системы:

    \[pV^{\gamma }=const;\ TV^{\gamma -1}=const;\ pT^{\frac{\gamma }{\gamma -1}}=const\ \qquad(4)\]

где \gamma =\frac{i+2}{i}— показатель адиабаты (коэффициент Пуассона). Уравнения (4) называют уравнениями адиабаты. Формулы для адиабатического процесса (4) можно записать в виде:

    \[\frac{p_2}{p_1}={\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{\gamma };\ \frac{T_2}{T_1}={\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{\gamma -1};\ \frac{T_2}{T_1}={\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{\gamma -1}{\gamma }} \qquad(5)\]

Линия, графически изображающая адиабатный процесс называется адиабатой.

Формула работы при адиабатическом сжатии

При адиабатическом сжатии объем газа уменьшается, принято считать, что в таком случае работу выполняют внешние силы. При этом внутренняя энергия газа (\Delta U) увеличивается:

    \[A=-\frac{i}{2}\nu R\left(T_2-T_1\right)=-\Delta U\ \qquad(6)\]

где i – число степеней свободы молекулы газа; \nu =\frac{m}{\mu } – количество вещества; \mu – молярная масса газа.

    \[\Delta U=c_{mV}\nu\left(T_2-T_1\right) \qquad(7)\]

где c_{mV}=\frac{i}{2}R – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Формулу для расчёта работы идеального газа в адиабатическом процессе можно вычислить, если знать начальную температуру газа (T_1) и начальный (V_1) и конечный его объемы (V_2):

    \[A=\frac{i}{2}\frac{m}{\mu }RT_1\left(1-\frac{V^{\gamma -1}_1}{V^{\gamma -1}_2}\right) \qquad(8)\]

Энтропия в адиабатном процессе

Равновесный адиабатный процесс можно характеризовать при помощи такой физической величины как энтропия (S). В равновесном процессе этот параметр определен как:

    \[dS=\frac{\delta Q}{T} \qquad(9)\]

Из определения энтропии следует, что равновесный адиабатный процесс является изоэнтропийным, то есть в таком процессе:

    \[\Delta S=0\to S=const\ \left(10\right)\]

Выражение (9) – это еще одна формула, которую можно использовать при рассмотрении процесса адиабатического сжатия.

Примеры решения задач по теме «Адиабатическое сжатие»

ПРИМЕР 1
Задание Гелий, находившийся при температуре T_1=293K и давлении p_1={10}^5 Па, сжимают адиабатически до давления p_2={10}^7 Па. Найдите температуру газа (T_2) по окончании его сжатия, если процесс является обратимым.
Решение Если адиабатический процесс является обратимым, то мы можем использовать для решения задачи формулы для адиабатического сжатия идеального газа. В данном случае нам пригодится формула:

    \[\ \frac{T_2}{T_1}={\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{\gamma -1}{\gamma }} \qquad(1.1)\]

Выразим искомую температуру:

    \[\ T_2=T_1{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{\gamma -1}{\gamma }} \qquad(1.2)\]

Показатель адиабаты (\gamma) найдем, зная, что гелий является одноатомным газом, следовательно, i=3:

    \[\gamma =\frac{i+2}{i}=\frac{5}{3}\  \qquad(1.3)\]

Тогда:

    \[\frac{\gamma -1}{\gamma }=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}=0,4\]

Вычислим искомую температуру:

    \[T_2=293\cdot {\left(\frac{{10}^7}{{10}^5}\right)}^{0,4}=1848\ (K)\]

Ответ T_2=1848 K
ПРИМЕР 2
Задание Изобразите для идеального газа графики адиабатного сжатия в осях S(T),\ S(V),\ S(p).
Решение Для адиабатного сжатия мы имеем постоянную энтропию:

    \[S=const \qquad(2.1)\]

Следовательно, адиабата будет перпендикулярна оси S. При адиабатном сжатии объем газа уменьшается, так как происходит сжатие, давление увеличивается, температура растет (это следует из формул адиабатического сжатия):

    \[\frac{p_2}{p_1}={\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{\gamma };\ \frac{T_2}{T_1}={\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{\gamma -1} \qquad(2.2)\]

Значит, получим следующие графики (рис.1):