Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Адиабатическое увеличение объема

Определение и основные понятия адиабатического увеличения объема

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Адиабатическое увеличение объема термодинамической системы – это процесс, в котором объем системы увеличивается, но при этом отсутствует обмен теплотой с окружающей средой.

Очень часто быстрое увеличения объема системы считают адиабатным. Первое начало термодинамики для адиабатического процесса можно записать как:

    \[c_{\mu V}\nu dT+pdV=0\ \qquad (1),\]

где c_{\mu V} – молярная теплоемкость вещества при постоянном объеме; p – давление в системе; \nu – число молей вещества; dT – элементарное изменение температуры; dV – малое изменения объема в рассматриваемом процессе. При адиабатическом расширении (если dV>0), то dT<0. Получается, что работа, которую совершает газ при адиабатическом увеличении объема, происходит за счет его внутренней энергии.

Уравнение адиабаты — это равенство, которое связывает параметры в заданном процессе. Рассмотрим адиабатический процесс в идеальном газе. Получим уравнение адиабаты из первого начала термодинамики (1) и уравнения состояния идеального газа:

    \[pV=\nu RT \qquad (2),\]

где универсальную газовую постоянную (R) выразим из соотношения Майера:

    \[R=c_{\mu p}-c_{\mu V}\ \qquad (3)\]

И из формулы (2) выразим температуру:

    \[T=\frac{pV}{\nu R}=\frac{pV}{\nu \left(c_{\mu p}-c_{\mu V}\right)} \qquad (4)\]

Разделим правую и левую части уравнения (1) на \nu c_{\mu V}T, имеем:

    \[\frac{c_{\mu V}\nu dT}{\ c_{\mu V}T}+\frac{pdV}{c_{\mu V}T}=0\to \frac{dT}{\ T}+\frac{RdV}{c_{\mu V}V}=0\to \frac{dT}{\ T}+\frac{(c_{\mu p}-c_{\mu V})dV}{c_{\mu V}V}=0\to \frac{dT}{\ T}+\left(\gamma -1\right)\frac{dV}{V}=0 \qquad (5),\]

где \gamma =\frac{c_{\mu p}}{c_{\mu V}}=\frac{i+2}{i} – показатель адиабаты; i – число степеней свободы молекулы газа. Проинтегрировав уравнение (5), проведем его потенцирование, получаем:

    \[TV^{\gamma -1}=const\ \qquad (6)\]

Мы получили уравнение адиабатического процесса в параметрах T,V. Из него становится очевидным, что если происходит адиабатическое увеличение объема идеального газа, то температура газа падает. Используя уравнение Менделеева – Клапейрона (2), можно получить уравнение адиабаты в параметрах p,V или p, T.

Теплоемкость тела (C) в адиабатном процессе постоянна и равна нулю. Энтропия (S) при адиабатном процессе не изменяется.

Работа при адиабатическом увеличении объема

Используя формулу для определения работы в любом термодинамическом процессе:

    \[A=\int^{V_2}_{V_1}{pdV\ \qquad (7)}\]

и уравнение адиабаты, легко получить, формулу для работы газа при его расширении в адиабатном процессе от объёма V_1 до объема V_2:

    \[A=\frac{RT_1}{\gamma -1}\left(1-{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{\gamma -1}\right) \qquad (8),\]

где T_1 – температура газа до расширения. При расширении газа в адиабатическом процессе из состояния, которое описывается параметрами p_1,\ V_1 до объема V_2, работа газом совершатся меньшая, чем при изотермическом расширении, так как в адиабатическом расширении температура газа уменьшается, тогда как, в изотермическом процессе она не изменяется, за счет получаемого тепла. При изотермическом расширении давление газа уменьшается за счет уменьшения плотности газа. При адиабатическом расширении давление газа уменьшается за счет уменьшения плотности газа и уменьшения средней кинетической энергии движения молекул (то есть уменьшения температуры).

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В сосуде, закрытом поршнем находится идеальный газ при температуре T_1=300 K. С газом провели два процесса (рис.1) один из них адиабатный, второй изотермический. Какова температура в конце адиабатного процесса?
Адиабатическое увеличение объема, пример 1

Рис. 1

Решение Рассмотрим графики процесса рис.1. В условии сказано, что один процесс является адиабатическим, другой изотермическим. Адиабата идет круче, чем изотерма, значит процесс 1-2 – это адиабатическое расширение. Получаем, что сжатие происходит по изотерме. Используя уравнение адиабаты в параметрах T, V легко найти конечную температуру адиабатного процесса:

    \[T_1{V_1}^{\gamma -1}=T_2{V_2}^{\gamma -1}\to T_2=T_1{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{\gamma -1} \qquad (1.1),\]

где показатель адиабаты найдем, зная, что i=5, следовательно:

    \[\gamma =\frac{i+2}{i}=\frac{7}{5}\]

Используя выражение (1.1) и, зная, что объем при рассматриваемом расширении увеличивается в 5 раз, вычислим искомую температуру:

    \[T_2=300\cdot {\left(\frac{1}{5}\right)}^{1,4-1}=157\ \left(K\right)\]

Ответ Температура газа при адиабатном расширении станет равна 157 К.
ПРИМЕР 2
Задание Какую работу совершает газ в ходе двух процессов, которые представлены в предыдущем примере? Число степеней свободы молекулы газа считайте равным i=5, молярная масса его равна \mu =2\cdot {10}^{-3}\frac{kg}{mol}, масса газа равна: m=0,02 кг.
Решение Работу газа в адиабатном процессе (A_{1-2}) при известных начальной и конечной температуре легко найти, если вспомнить, что она совершается за счет уменьшения внутренней энергии газа (\Delta U):

    \[A_{1-2}=-\Delta U=-\frac{m}{\mu }\frac{i}{2}R\ \left(T_2-T_1\right) \qquad (2.1)\]

Работу газа в процессе (2-3) (изотермическое сжатие) найдем как:

    \[A_{2-3}=RT_2\frac{m}{\mu }{\ln \left(\frac{V_1}{V_2}\right)\ } \qquad (2.2)\]

Суммарная работа, которую совершает газ в обоих процессах, равна:

    \[A=A_{1-2}+A_{2-3}=-\frac{m}{\mu }\frac{i}{2}R\ \left(T_2-T_1\right)+RT_2\frac{m}{\mu }{ln \left(\frac{V_1}{V_2}\right)\ }\ \]

Можно провести вычисление искомой работы:

    \[A=\frac{0,02}{2\cdot {10}^{-3}}\cdot 8,31\left[\frac{5}{2}\ \left(-157+300\right)+157{ln \left(\frac{1}{5}\right)\ }\ \right]=8,8\cdot {10}^3(J)\]

Ответ A=8,8\cdot {10}^3 Дж
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.