Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Формулы адиабатического процесса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Процесс, происходящий без обмена с окружающей средой теплотой, называют адиабатическим.

Это идеализированный процесс. Близкими к адиабатическим процессам являются процессы, происходящие с большой скоростью.

Формулу, которая описывает адиабатический процесс в идеальном газе легко получить из первого начала термодинамики, которое для этого процесса принимает вид:

    \[\delta A=-dU\ \qquad(1)\]

уравнение (1) означает то, что работа в адиабатическом процессе совершается за счет уменьшения внутренней энергии системы. По определению работы в термодинамическом процессе, имеем:

    \[\delta A=pdV\ \qquad(2)\]

где p – давление газа; dV – малое изменение объема системы. По определению внутренняя энергия:

    \[dU=\frac{i}{2}R\nu dT\ \qquad(3)\]

где i – число степеней свободы молекулы; \nu – количество вещества; R – универсальная газовая постоянная; dT – элементарное изменение температуры.

Учитывая выражения (2) и (3) первое начало термодинамики для адиабатного процесса, запишем как:

    \[pdV=-\frac{i}{2}\nu RdT\ \to dT=-\frac{2pdV}{i\cdot \nu\cdot R} \qquad(4)\]

Состояние идеального газа можно описать уравнением Менделеева – Клапейрона:

    \[pV=\nu RT \qquad(5)\]

Из (5), получаем:

    \[pdV+Vdp=\nu RdT\ \qquad(6)\]

Подставим вместо dT в формулу (6) правую часть выражения (4):

    \[pdV+Vdp=-\nu R\frac{2pdV}{i\cdot \nu \cdot R}=-\frac{pdV}{i}\to \frac{pdV+Vdp}{pdV}=-\frac{2}{i}\to \frac{dp}{p}=-\gamma \frac{dV}{V} \qquad(7)\]

где для идеального газа \gamma =\frac{2+i}{i} – показатель адиабаты (или коэффициент Пуассона). Из полученного дифференциального уравнения имеем:

    \[pV^{\gamma }=const\ \qquad(8)\]

Уравнение (7) можно считать формулой, которая описывает адиабатический процесс (уравнение адиабаты, уравнение Пуассона). Формулы для адиабатического процесса можно легко получить в других параметрах: (p(T) или V(T)).

    \[\frac{p_2}{p_1}={\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{\gamma };\ \frac{T_2}{T_1}={\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{\gamma -1};\ \frac{T_2}{T_1}={\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{\gamma -1}{\gamma }} \qquad(9)\]

Диаграмма адиабатического процесса в осях p(V) является гиперболой.

Адиабатический процесс происходит при постоянной теплоемкости, равной нулю.

Примеры решения задач по теме «Адиабатический процесс»

ПРИМЕР 1
Задание Газ расширяется и переходит из одного и того же состояния с объемом V_1 в состояние V_2. В первом случае в изотермическом процессе, во втором случае в адиабатном процессе. Изобразите процессы на графике, в осях p(V). В каком случае работа газа будет больше?
Решение Формула, описывающая изотермический процесс в параметрах p(V):

    \[pV=const\  \qquad(1.1)\]

Адиабатический процесс задает формула:

    \[pV^{\gamma }=const\  \qquad(1.2)\]

где \gamma =\frac{2+i}{i}=1+\frac{2}{i} – показатель адиабаты, является величиной, большей единицы, следовательно, на графике в осях p(V) адиабата идет круче изотермы. Это мы отобразим на графике рис.1

На рис. 1 изображен изотермический процесс расширения идеального газа от объема V_1 до объема V_2, это линия обозначенная цифрой 1. Вторая линия – это адиабата, которая так же обозначает расширение газа от объема V_1 до объема V_2. Работа газа при изменении его объема равна:

    \[A=\int^{V_2}_{V_1}{pdV}  \qquad (1.1)\]

Если рассматривать процесс изменения объема газа в осях p(V), то в соответствии с геометрическим смыслом интеграла, работа будет численно равна площади криволинейной трапеции, которую ограничивают график процесса и вертикальные изохоры V_1 и V_2. Площадь фигуры, которая получается в изотермическом процессе явно больше (рис.1), чем площадь трапеции, которую образует адиабата и соответствующие изохоры. Значит сделаем вывод о том, что работа в изотермическом процессе больше, чем работа в адиабатном процессе при заданных условиях.

Ответ Работа в изотермическом процессе больше.
ПРИМЕР 2
Задание В сосуде под поршнем находится идеальный газ при температуре T_1=600K. Газ расширился адиабатически, при этом его объем увеличился в пять раз. Чему равна конечная температура газа (T_2), если это был водород?
Решение Адиабатический процесс опишем при помощи формулы в параметрах (T V):

    \[\frac{T_2}{T_1}={\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{\gamma -1} \qquad(2.1)\]

где показатель адиабаты найдем, как:

    \[\gamma =\frac{2+i}{i}=\frac{7}{5}=1,4 \qquad(2.2)\]

учитывая, что водород двухатомный газ, следовательно, i=5. По условию:

    \[\frac{V_1}{V_2}=\frac{1}{5} \qquad(2.3)\]

Учитывая (2.3) имеем:

    \[\frac{T_2}{T_1}={\left(\frac{1}{5}\right)}^{1,4-1}={\left(\frac{1}{5}\right)}^{0,4}\to T_2={\left(\frac{1}{5}\right)}^{0,4}T_1\]

Проведем вычисления искомой температуры:

    \[T_2={\left(\frac{1}{5}\right)}^{0,4}\cdot 600=315\ (K)\]

Ответ T_2=315 K