Адиабатическое расширение

Определение и основные понятия адиабатического расширения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Адиабатическое расширение – это процесс увеличения объема термодинамической системы при котором система тепло не отдает и не получает из вне.

Для идеальных газов условие адиабатичности процесса записывается как:

$\delta Q=0\ \qquad (1)$

Первое начала термодинамики для адиабатического процесса в интегральном виде можно записать как:

$A=-\Delta U\ \qquad (2),$

где работа совершается газом за счет уменьшения своей внутренней энергии. В дифференциальном виде первое начало термодинамики:

$\delta A+dU=0\to pdV=-\frac{i}{2}R\nu dT=-c_{\mu V}\nu dT \qquad (3),$

где $c_{\mu V}=\frac{i}{2}R$ – молярная теплоемкость идеального газа при постоянном объеме; $\nu$ – число молей вещества; $dT$ – элементарное изменение температуры; $dV$ – малое изменение объема. Из выражения (3) очевидно, что при адиабатическом расширении ( $dV>0$ ) газ охлаждается ( $dT<0$ ).

Адиабатическое охлаждение часто демонстрируют при помощи следующего эксперимента. Берется стеклянная бутылка, горлышко которой закрыть резиновой пробкой, в которую вставлена трубка. На дно бутылки наливают смесь воды и спирта. Через трубку в пробке нагнетают воздух. Пробку резко вынимают из бутылки. В бутылке возникает туман в результате конденсации паров при уменьшении температуры.

Теплоемкость при адиабатическом процессе любого тела постоянная и равна нулю:

$C=\frac{\Delta Q}{\Delta T}=0$

Уравнение адиабаты

Процесс адиабатического расширения в идеальном газе можно описать при помощи уравнения Менделеева – Клапейрона, которое связывает три термодинамических параметра: $p,V,T$ . Однако, используя первое начало термодинамики для процесса адиабатического расширения можно получить уравнение, которое позволит описывать данный процесс двумя параметрами:

$f\left(p,V\right);\ f\left(p,T\right);\ f\left(V,T\right)$

Все три вида этих функций называют уравнениями Пуассона:

$pV^{\gamma }=const;\ TV^{\gamma -1}=const;\ pT^{\frac{\gamma }{\gamma -1}}=const\ \qquad (4),$

где $\gamma =\frac{i+2}{i}$ — показатель адиабаты (коэффициент Пуассона); i – число степеней свободы молекулы газа.

Работа газа при адиабатическом расширении

Работа адиабатического расширения газа легко получается, если использовать первое начало термодинамики в дифференциальном виде (3). Тогда A равна:

$A=-c_{\mu V}\nu \left(T_2-T_1\right) \qquad (5)$

Применяя уравнение адиабаты работу для адиабатического процесса можно выразить как:

$A=c_{\mu V}\nu T_1\left[1-{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{\gamma -1}\right] \qquad (6)$

Или:

$A=c_{\mu V}\nu T_1\left[1-{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}\right] \qquad (7)$

Следует отметить, что равновесное адиабатическое расширение весьма сложно, так как не существует материалов совершенно не проводящих тепло. Гораздо проще провести нестатическое расширение (или сжатие) газа. Процесс при этом стараются выполнить как можно быстрее, так, чтобы за время его прохождения теплообменом можно было бы пренебречь.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Используя уравнение адиабатического процесса, изобразите на диаграмме в осях $p(V)$ процесс адиабатического расширения. В тех же осях изобразите изотерму. Объясните разницу в изображении процессов.

Решение

Запишем уравнение адиабаты в параметрах $p,V$ :

$pV^{\gamma }=const\to p=\frac{const}{V^{\gamma }} \qquad (1.1)$

Уравнение изотермы в тех же параметрах запишется как:

$pV=const\to p=\frac{const}{V}\ \qquad (1.2)$

На диаграмме с осями p, V (рис.1) зафиксируем точку с координатами $\left(p_0,V_0\right)$ . Через избранную точку проведем адиабату (1) и изотерму (2).

Мы получили, что адиабата идет круче, чем изотерма, так как $\gamma >1$ . В рассматриваемой точке $\left(p_0,V_0\right)$ тангенс угла наклона кривой, соответствующей адиабатическому расширению в $\gamma$ раз больше по величине, чем у процесса расширения при постоянной температуре.

При адиабатическом расширении большее уменьшение давления по адиабате (в сравнении с изотермой) можно объяснить тем, что в адиабатическом процессе на изменение давления оказывает влияние и увеличение объема, и уменьшение температуры. В изотермическом процессе изменение давления связано только с изменением объёма.

Рис. 1

ПРИМЕР 2

Задание

2 моль кислорода, находящегося при температуре 273 К адиабатически расширили в 3 раза. Каково изменение внутренне энергии ( $\Delta U$ ) этого газа? Чему равна работа газа?

Решение

В качестве основы для решения задачи используем первое начало термодинамики для заданного (адиабатического расширения):

$\Delta U=-A \qquad (2.1)$

Изменение внутренней энергии идеального газа можно определить как:

$\Delta U=\frac{i}{2}R \nu \left(T_2-T_1\right) \qquad (2.2),$

где для кислорода i=5. Для того чтобы найти конечную температуру, которой обладал газ после расширения используем уравнение адиабаты:

$TV^{\gamma -1}=const;\ \ \to T_1{V_1}^{\gamma -1}=T_2{V_2}^{\gamma -1}\to T_2=T_1\frac{{V_1}^{\gamma -1}}{{V_2}^{\gamma -1}} \qquad (2.3),$

где $\gamma =\frac{i+2}{i}=\frac{7}{5}$ . Подставим выражение для $T_2$ (2.3) в формулу (2.2), имеем:

$\Delta U=\frac{i}{2}R\nu T_1\left({\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{\gamma -1}-1\right)$

Можно провести вычисления:

$\Delta U=\frac{5}{2}\cdot 8,31\cdot 2\cdot 273\left({\left(\frac{1}{3}\right)}^{1,4-1}-1\right)=-4033\ (J)$

В соответствии с формулой (2.1) работа по адиабатическому расширению газа равна:

$A=4033\ (J)$

Ответ

$\Delta U=-4033$ Дж; A=4033 Дж

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Адиабатическое расширение

Определение и основные понятия адиабатического расширения

Уравнение адиабаты

Работа газа при адиабатическом расширении

Примеры решения задач