Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Адиабатическое сжатие

Определение и основные понятия адиабатического сжатия

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Адиабатическим сжатием называют процесс уменьшения объема термодинамической системы, при котором не происходит обмена теплом с окружающей ее средой.

Для идеальных газов условием прохождения адиабатического процесса является \delta Q=0. При этом первое начало термодинамики в дифференциальном виде для адиабатического процесса можно записать как:

    \[\delta A=-dU\to pdV=-\frac{i}{2}\nu RdT\ \qquad (1),\]

где \nu – количество молей вещества, i – число степеней свободы молекулы идеального газа, R – универсальная газовая постоянная. Адиабатическое сжатие происходит при постоянной теплоемкости тела, равной нулю.

При адиабатическом сжатии (dV<0) происходит увеличении температуры газа, то есть dT>0. Происходит адиабатический нагрев.

Адиабатическое сжатие, рисунок 1

Рис. 1

Равновесное адиабатическое сжатие можно реализовать, если использовать идеальное устройство, изображенное на рис.1. Для исключения обмена теплотой, цилиндр, в котором находится газ, должен быть теплоизолирован. При сжатии газа, то есть увеличении нагрузки на поршень, молекулы газа будут ударяться о приближающийся к ним поршень и получать дополнительную кинетическую энергию. При упругом отражении молекулы от приближающегося поршня, который имеет много большую массу, нормальная составляющая ее скорости будет увеличиваться на удвоенную величину скорости поршня. Если кинетическая энергия молекул увеличивается, то растет температура газа.

Адиабатный процесс, проходящий в идеальном газе можно описывать, используя уравнение Менделеева – Клапейрона:

    \[pV=\nu RT \qquad (2)\]

Однако, существуют специальные уравнения, которые легко получить из первого начала термодинамики и которые могут описывать адиабатическое сжатие, используя только два параметра термодинамической системы:

    \[pV^{\gamma }=const;\ TV^{\gamma -1}=const;\ pT^{\frac{\gamma }{\gamma -1}}=const\ \qquad (3),\]

где \gamma =\frac{i+2}{i}— показатель адиабаты (коэффициент Пуассона).

Работа при адиабатическом сжатии

Так как в процессе адиабатического сжатия объем газа уменьшается, то считают, что работа проводится над газом внешними силами. При этом эта работа идет на увеличение внутренней энергии газа (\Delta U):

    \[A=-c_{\mu V}\nu \left(T_2-T_1\right)=-\Delta U\ (4)\]

    \[\Delta U=c_{\mu V} \nu \left(T_2-T_1\right) \qquad(5)\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Азот занимает объем, равный V_1=0,5 м3. В результате адиабатического сжатия давление газа увеличилось в 3 раза. Каков результирующий объем газа?
Решение Для нахождения, полученного в результате адиабатического сжатия объема газа, воспользуемся уравнением процесса в параметрах (V,p):

    \[pV^{\gamma }=const\ \qquad (1.1)\]

Или для двух состояний газа уравнение (1.1) перепишем как:

    \[p_1{V_1}^{\gamma }=p_2{V_2}^{\gamma } \qquad (1.2),\]

где показатель адиабаты найдем, зная, что молекула азота состоит из двух атомов, следовательно, ее число степеней свободы i=5, тогда:

    \[\gamma =\frac{i+2}{i}=\frac{7}{5}=1,4\]

Выразим из уравнения (1.2) искомый объем:

    \[V_2=V_1{\left(\frac{p_1}{p_2}\right)}^{\frac{1}{\gamma }}\]

Можно провести вычисления:

    \[V_2=0,5\ {\left(\frac{1}{3}\right)}^{\frac{1}{1,4}}=0,228\ (m^3)\]

Ответ V_2=0,228 м3
ПРИМЕР 2
Задание Идеальный газ (число степеней свободы i) занимает объем V_1, его давление при этом составляет p_1. После адиабатического сжатия газ занимает некоторый объем. Далее с газом проводят изохорный процесс, при котором он охлаждается до первоначальной температуры, его давление при этом становится равным p_3. Чему равны давление и объем газа после адиабатного сжатия?
Решение Изобразим на диаграмме схемы проводимых с газом процессов (рис.2). 1-2 – адиабата; 2-3 – изохора. Пунктирная кривая – изотерма (T_1=T_3).
Адиабатическое сжатие, пример 1

Рис. 2

Для изотермического процесса выполняется закон Бойля-Мариотта. Им воспользуемся, так как температуры по условию в первой и третьей точках равны (рис.1):

    \[p_1V_1=p_3V_2 \qquad (2.1)\]

Из уравнения (2.1) выразим объем, который получен после адиабатического сжатия:

    \[V_2=\frac{p_1V_1}{p_3} \qquad (2.2)\]

Для нахождения давления, которое получено в ходе адиабатного сжатия, воспользуемся уравнением адиабаты:

    \[pV^{\gamma }=const\ \qquad (2.3)\]

Запишем его для состояний (точек на рис.1) 1 и 2:

    \[p_1{V_1}^{\gamma }=p_2{V_2}^{\gamma } \qquad (2.4)\]

Выразим искомое давление:

    \[p_2=\frac{p_1{V_1}^{\gamma}}{{V_2}^{\gamma}}=p_1{\left(\frac{p_3}{p_1}\right)}^{\gamma }=\frac{p^{\gamma }_3}{p^{\gamma -1}_1} \qquad (2.5)\]

Показатель адиабаты можно найти, если для идеального газа известно число степенней свободы молекулы i:

    \[\gamma =\frac{i+2}{i} \qquad (2.6)\]

Ответ V_2=\frac{p_1V_1}{p_3};\  \quad p_2=\frac{p^\gamma_3}{p^{\gamma-1}_1}
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.