Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Коэффициент теплового расширения

Определение и формула коэффициента теплового расширения

Тепловым расширением называют изменение размеров тела при изменении его температуры. Тепловое расширение (сжатие) характеризуют при помощи соответствующего коэффициента. Различают линейное и объемное тепловое расширения. Эти процессы характеризуют коэффициентами теплового расширения: {\alpha }_l — средний коэффициент линейного теплового расширения, {\alpha }_V-средний коэффициент объемного теплового расширения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Коэффициент теплового расширения — это физическая величина, которая характеризует изменение линейных размеров твердого тела с ростом или уменьшением его температуры.

Обозначим начальную длину тела l_0, \Delta l — его удлинение при увеличении температуры тела на \Delta T, тогда {\alpha }_l будет равен:

    \[{\alpha }_l=\frac{1}{l_0}\frac{\Delta l}{\Delta T}\left(1\right)\]

Коэффициент линейного теплового расширения является характеристикой относительного удлинения (\frac{\Delta l}{l_0}), которое происходит при увеличении температуры тела на 1К.

При увеличении температуры увеличивается объем тела. Для твердых тел и жидкостей можно считать справедливой формулу:

    \[V=V_0\left(1+{\alpha }_V\Delta T\right)\left(2\right),\]

где V_0 — начальный объем тела, \Delta T — изменение температуры тела.

Коэффициент объемного расширения тела — это физическая величина, характеризующая относительное изменение объема тела (\frac{\Delta V}{V_0}), происходящее при нагревании тела на 1 K давление должно быть постоянным. Коэффициент {\alpha }_V можно определить как:

    \[{\alpha }_V=\frac{1}{V_0}\frac{\Delta V}{\Delta T}\left(3\right)\]

Тепловое расширение твердого тела связывают с ангармоничностью тепловых колебаний частиц, составляющих кристаллическую решетку тела. В результате данных колебаний при увеличении температуры тела увеличивается равновесное расстояние между соседними частицами этого тела.

Изменение объема тела ведет к изменению его плотности:

    \[\rho =\frac{{\rho }_0}{1+{\alpha }_V\Delta T}\left(4\right),\]

где {\rho }_0 — начальная плотность, \rho — плотность вещества при новой температуре. Так как величина {\alpha }_V\Delta T\ll 1, то выражение (4) иногда записывают как:

    \[\rho ={\rho }_0\left(1-{\alpha }_V\Delta T\right)\left(5\right)\]

Коэффициенты теплового расширения зависят от вещества. В общем случае они будут зависеть от температуры. Коэффициенты теплового расширения считают независимыми от температуры в небольшом интервале температур.

Существует ряд веществ, имеющих отрицательный коэффициент теплового расширения. При повышении температуры такие материалы сжимаются. Обычно это происходит в узком интервале температур. Есть вещества, у которых коэффициент теплового расширения почти равен нулю в некотором определенном интервале.

Связь коэффициентов теплового расширения

В первом приближении можно считать, что коэффициенты линейного и объемного расширения изотропного тела связаны соотношением:

    \[{\alpha }_V=3{\alpha }_l\left(6\right)\]

Единицы измерения

Основной единицей измерения коэффициентов температурного расширения в системе СИ является:

    \[\left[\alpha \right]=\frac{1}{K}\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Каков коэффициент теплового расширения некоторого металла, если при его нагревании от t_1 до t_2 плотность данного металла уменьшается в n раз? При решении задачи считайте, что коэффициент линейного расширения {\alpha }_l является постоянным в рассматриваемом интервале температур.
Решение Плотность металла при температуре t_1 может быть найдена как:

    \[{\rho }_1=\frac{m}{V_1}\to V_1=\frac{m}{{\rho }_1}\left(1.1\right)\]

Плотность металла при температуре t_2:

    \[{\rho }_2=\frac{m}{V_2}\to V_2=\frac{m}{{\rho }_2}\left(1.2\right)\]

Определим, каким будет относительное изменение объема металла (\frac{\Delta V}{V_1}), учитывая выражения (1.1) и (1.2):

    \[\frac{\Delta V}{V_1}=\frac{V_2-V_1}{V_1}=\frac{\frac{m}{\rho_2}-\frac{m}{\rho_1}}{\frac{m}{\rho_1}}=\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2}-1\left(1.3\right)\]

Используя определение коэффициента объемного теплового расширения:

    \[{\alpha }_V=\frac{1}{V_1}\frac{\Delta V}{\Delta T}\left(1.4\right)\]

получим выражение:

    \[\frac{\Delta V}{V_1}={\alpha }_V\Delta T\left(1.5\right)\]

Для изотропного вещества мы знаем, что:

    \[{\alpha }_V=3{\alpha }_l\left(1.6\right)\]

Значит выражение (1.5) перепишем как:

    \[\frac{\Delta V}{V_1}={3\alpha }_l\Delta T\left(1.7\right)\]

Сравниваем выражения (1.3) и (1.7), имеем:

    \[\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2}-1={3\alpha }_l\Delta T\to {\alpha }_l=\frac{\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2}-1}{3\Delta T}=\frac{n-1}{3(t_2-t_1)}\left(1.8\right),\]

где \Delta T=(t_2-t_1).

Ответ {\alpha }_l=\frac{n-1}{3(t_2-t_1)}
ПРИМЕР 2
Задание К проволоке радиуса r подвешен груз. Под действием его проволока получает удлинение равное удлинению при нагревании ее на \Delta TK. Какова масса груза? Модуль Юнга для этой проволоки равен E, линейный коэффициент теплового расширения материала проволоки равен {\alpha }_l.
Решение Сделаем рисунок.
Формула коэффициента теплового расширения

Рис. 1

На груз действует сила тяжести (m\overline{g}) и реакция опоры (\overline{N}). В соответствии с третьим законом Ньютона реакция опоры равна по модулю силе упругости (F_{upr}), которая действует на проволоку и по закону Гука равна:

    \[F_{upr}=ES\frac{\Delta l}{l_0}\left(2.1\right)\]

По второму закону Ньютона для груза имеем:

    \[m\overline{g}+\overline{N}=0\left(2.2\right)\]

В проекции на ось Y выражение (2.2) имеет вид:

    \[mg=N\to F_{upr}=mg\left(2.3\right)\]

Учитывая выражение (2.1) получим:

    \[ES\frac{\Delta l}{l_0}=mg\to \frac{\Delta l}{l_0}=\frac{mg}{ES}=\frac{mg}{E\pi r^2}\to \Delta l=\frac{mgl_0}{E\pi r^2}\left(2.4\right)\]

Увеличение температуры ведет к увеличении длины проволоки в соответствии с выражением:

    \[l=l_0\left(1+{\alpha }_l\Delta T\right)\to \frac{\Delta l}{l_0}={\alpha }_l\Delta T\to \Delta l={\alpha }_ll_0\Delta T\ \left(2.5\right)\]

Сравним выражения (2.4) и (2.5), имеем:

    \[\frac{mgl_0}{E\pi r^2}={\alpha }_ll_0\Delta T\to m=\frac{{\alpha }_l\Delta TE\pi r^2}{g}\]

Ответ m=\frac{{\alpha }_l\Delta TE\pi r^2}{g}
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.