Виды упругих деформаций

Определение и виды упругих деформаций

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Упругой называют деформацию, при которой тело после снятия деформирующей силы полностью восстанавливает свою форму и (или) размер.

Любые деформации твердых тел можно свести к двум видам: сжатию (растяжению) и сдвигу.

Деформация растяжения (сжатия)

Деформация растяжения возникает, например, когда один конец стержня закреплен, а к противоположному его концу приложена сила, направленная вдоль его оси в направлении от стержня. Такую деформацию характеризуют абсолютным ( $\Delta l$ ) или относительным ( $\varepsilon$ ) удлинениями:

$\Delta l=l-l_{0} \qquad (1)$

где $l_{0}$ — длина не деформированного стержня; $l$ – длина стержня после деформации.

$\varepsilon =\frac{\Delta l}{l_0} \qquad (2)$

Если деформации малы ( $\Delta l\ll l_0$ ), то многие тела являются упругими.

В том случае, если на рассмотренный нами стержень действует сила, действующая вдоль его оси, но в направлении стержня, то тело испытывает деформацию сжатия. При деформации сжатия относительная деформация меньше нуля.

При деформации растяжения и сжатия площадь поперечного сечения тела изменяется. При растяжении она уменьшается, при сжатии увеличивается. При малых растяжениях и сжатиях изменением площади поперечного сечения деформируемых тел часто пренебрегают.

При небольших упругих деформациях выполняется закон Гука. Этот закон говорит о том, что удлинение деформированного тела прямо пропорционально деформирующей силе.

Силы упругости в стержне описывают с помощью напряжения $\sigma$ . Это физическая величина, которая равна величине силы упругости на единицу площади поперечного сечения стержня. (Сила распределена равномерно по сечению и перпендикулярна поверхности сечения).

$\sigma =\frac{F_{upr,\ \bot }}{S} \qquad (3)$

$\sigma >0$ , если при растяжении и $\sigma <0$ при сжатии. Напряжение $\sigma$ носит название нормального. Существует тангенциальное напряжение $\tau$ , оно равно:

$\tau =\frac{F_{upr,\ ||}}{S} \qquad (4)$

где $F_{upr,\ ||}$ — сила упругости, которая действует вдоль слоя тела; $S$ – площадь рассматриваемого слоя.

Изменение длины стержня ( $\Delta l$ ) при деформации растяжения (сжатия) можно выразить как:

$\Delta l=\frac{l_0\sigma }{E} \qquad (5)$

где $E$ – модуль Юнга. Модуль Юнга характеризует упругие свойства материала.

Потенциальная энергия упруго деформированного стержня при его продольной деформации равна:

$E_p=\frac{E{\varepsilon }^2}{2}V\ \qquad (6)$

где $E$ – модуль Юнга; $\varepsilon$ – относительное удлинение; $V$ – объем стержня.

Изменение потенциальной энергии пружины ( $E_p$ ) при деформации :

$E_p=\frac{k{\Delta x}^2}{2}\ \qquad (7)$

где $\Delta x$ – изменение длины пружины; $k$ – коэффициент упругости пружины.

При записи выражения (7) считаем, что потенциальная энергия пружины без деформации равна нулю.

Деформация сдвига

Сдвигом называют такую деформацию, при которой плоские слои твердого тела смещаются параллельно по отношению друг к другу. Данный вид деформации происходит без изменения формы и размера слоев тела. В качестве меры этой деформации принимают угол сдвига ( $\gamma$ ) или величину сдвига ( $\Delta s$ ) (смещение одного из оснований тела). Для упругой деформации сдвига закон Гука имеет вид:

$\Delta s=\frac{Fh}{GS}$

или

$\tau =G\gamma \ \qquad (8)$

где $G$ – модуль сдвига; $h$ — толщина слоя, подверженного деформации.

Деформация кручения

Деформация кручения возникает при относительном повороте параллельных друг по отношению к другу сечений, перпендикулярных оси тела. Если к однородному круглому стержню приложен момент сил ( $M$ ), и он закручивает его на угол $\varphi$ , то:

$M=C\varphi \qquad (9)$

где $C$ – постоянная кручения.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Каково относительное удлинение стержня ( $\varepsilon$ ), если при его растяжении произведена работа, равная А. Длина стержня равна $l$ , площадь его поперечного сечения $S$ . Модуль Юнга для материала стержня $E$ .

Решение

Если считать, что потенциальная энергия ( $E_{p1}$ ) не растянутого стержня равна нулю, то изменение его потенциальной энергии при растяжении равно работе, которую произвели над стержнем при его деформации:

$A=\Delta E_p=E_p=\frac{E{\varepsilon }^2}{2}V\left(1.1\right),\$

где объем стержня найдем как:

$V=lS\ \qquad (1.2)$

Относительная деформация стержня равна:

$\varepsilon =\frac{\Delta l}{l} \qquad (1.3)$

Учитывая выражения (1.2) и (1.3) преобразуем формулу (1.1) к виду:

$A=\frac{E{\left(\frac{\Delta l}{l}\right)}^2}{2}lS=\frac{ES{\left(\Delta l\right)}^2}{2l}=\frac{ESl{\left(\varepsilon \right)}^2}{2} \qquad (1.4)$

Из (1.4) выразим относительное удлинение стержня:

$\varepsilon =\sqrt{\frac{2A}{ESl}}$

Ответ

$\varepsilon =\sqrt{\frac{2A}{ESl}}$

ПРИМЕР 2

Задание

Какова работа, которую следует затратить для того, чтобы сжать пружину на величину $\Delta x'$ , если сила пропорциональна деформации? Под действием силы F эта пружина сжимается на $\Delta x.$

Решение

Сделаем рисунок.

Работа при сжатии упругого тела равна изменению его потенциальной энергии, если потенциальную энергию не сжатой пружины считать равной нулю, то мы имеем:

$A=\Delta E_p=E_p=\frac{k{\left(\Delta x'\right)}^2}{2}\ \qquad (2.1)$