Упругая деформация

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Деформацию называют упругой, если она исчезает при прекращении действия деформирующего воздействия.

Деформация перестает быть упругой, если внешняя сила становится больше определенной величины, которая носит название предела упругости. При упругой деформации частицы, смещенные в новые положения равновесия в кристаллической решетке, после снятия деформирующей силы занимают в старые места. Тело полностью восстанавливает свои размеры и форму после снятия нагрузки.

Закон Гука для упругих деформаций

Р. Гук эмпирически получил, что при упругих деформациях удлинение деформированной пружины (x) прямо пропорционально приложенной к ней внешней силе (F). Внешняя сила вызывает к действию силу упругости тела. При этом силы равны по величине, то есть сила упругости уравновешивает действие внешней силы. Этот закон можно записать как:

$x=\frac{1}{k}F_x \qquad (1)$

где $F_x$ – проекция силы на ось X; x- удлинение пружины по оси X; k – коэффициент упругости пружины (жесткость пружины). Если использовать понятие силы упругости ( $F_{upr}$ ) для деформированной пружины, то закон Гука записывают как:

$F_{upr,\ x}=-kx \qquad (2)$

где $F_{upr,\ x}$ – проекция силы упругости на ось X. Жесткость пружины – это величина, которая зависит от материала, размеров витка пружины и ее длины. Закон Гука выполняется для небольших удлинений и небольших нагрузок.

Для однородных стержней, которые растягивают или сжимают, при небольших деформациях выполняется закон Гука. Обычно, в этом случае, упругие силы в стержне описывают при помощи напряжения $\sigma$ .

$\sigma =\frac{F_{upr,\ \bot}}{S} \qquad (3)$

При этом считают, что сила распределяется равномерно по сечению и она перпендикулярна поверхности сечения. $\sigma {\rm >0}$ , если происходит растяжение и $\sigma {\rm <0}$ при сжатии. Напряжение $\sigma$ называют еще нормальным. Выделяют тангенциальное напряжение $\tau$ , которое равно:

$\tau =\frac{F_{upr,\ ||}}{S} \qquad (4)$

где $F_{upr,\ ||}$ — сила упругости, которая действует вдоль слоя тела; S – площадь рассматриваемого слоя.

Изменение длины стержня ( $\Delta l$ ) равно:

$\Delta l=\frac{1}{k}\sigma =\frac{l\sigma}{E} \qquad (5)$

где E – модуль Юнга; l – длина стержня. Модуль Юнга характеризует упругие свойства материала.

Виды упругих деформаций

Деформация всестороннего растяжения (сжатия) проявляется в изменении (увеличении или уменьшении) объема тела. При этом форма тела не изменяется. Растягивающие (сжимающие) силы равномерно распределяются по всей поверхности тела. Характеристикой, такого вида деформации, является относительное изменение объема тела ( $\frac{\Delta V}{V}$ ).

Сдвиг – это вид деформации, при которой плоские слои твердого тела смещены параллельно друг другу. При этом виде деформации слои не изменяют свою форму и размер. Мерой данной деформации служит угол сдвига ( $\gamma$ ) или величина сдвига ( $\Delta s$ ). Закон Гука для упругой деформации сдвига записывают как:

$\Delta s=\frac{Fh}{GS}$

или

$\tau =G\gamma \qquad (6)$

где G – модуль поперечной упругости (модуль сдвига), h — толщина деформируемого слоя; $\gamma$ – угол сдвига.

Деформация кручения состоит в относительном повороте параллельных друг другу сечений, перпендикулярных оси образца. Момент сил (M), который закручивает однородный круглый стержень на угол $\varphi$ , равен:

$M=C\varphi \qquad (7)$

где C – постоянная кручения.

Все виды упругой деформации могут сводиться к деформациям растяжения или сжатия, которые происходят одномоментно.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Каково тангенциальное напряжение ( $\tau$ ) в материале железного цилиндра и угол сдвига ( $\gamma$ ), диаметр его равен $d=$ 0,2 м? Нижнее основание этого цилиндра неподвижно, а на верхнее основание действует сила $F=2\cdot {10}^4\ H$ рис.1.

Решение

Тангенциальное напряжение найдем как:

$\tau =\frac{F_{upr,\ ||}}{S} \qquad (1.1)$

Сила упругости будет параллельна деформирующей силе, которая указана на рис.1, но направлена в противоположную ей сторону, поэтому величину тангенциального напряжения найдем как:

$\tau =\frac{F}{S} \qquad (1.2)$

Площадь S равна площади круга:

$S=\pi \frac{d^2} {4} \qquad (1.3)$

В таком случае тангенциальное напряжение равно:

$\tau =\frac{4F}{\pi d^2}$

Вычислим искомую величину:

$\tau =\frac{4\cdot 2\cdot {10}^4}{\pi {(0,2)}^2}=6,4\cdot {10}^5\ (Pa)$

Угол сдвига можно найти, если использовать табличное значение величины модуля сдвига для железа: $G=76\ \cdot {10}^9$ Па, тогда:

$\tau =G\gamma \to \gamma =\frac{\tau}{G}$

Вычислим $\gamma$ :

$\gamma =\frac{6,4\cdot {10}^5}{76\ \cdot {10}^9}=8,4\cdot {10}^{-6}\ \left(rad\right)$

Ответ

$\tau =6,4\cdot {10}^5$ Па; $\gamma =8,4\cdot {10}^{-6}$ рад

ПРИМЕР 2

Задание

Пружину, имеющую жесткость k сжали при помощи силы F. Какова работа (A) внешней силы, если пружину еще дополнительно сжать на величину x? Считайте, что при заданных условиях закон Гука выполняется.

Решение

За основу решения задачи примем, что работа по модулю при упругой деформации равна изменению потенциальной энергии сжимаемой пружины:

$\left|A\right|=\left|\frac{kx^2_2}{2}-\frac{kx^2_1}{2}\right| \qquad (2.1)$