Энергия упругой деформации

Потенциальная энергия имеется у системы взаимодействующих тел. Но отдельное деформированное тело также обладает такого типа энергией. В таком случае потенциальная энергия зависит от взаимного расположения частей тела.

Энергия упругой деформации

Если груз, подвешенный на проволоке, растягивает подвес и опускается, значит, сила тяжести совершает работу. За счет такой работы увеличивается энергия деформированного тела, которое перешло из ненапряженного состояния в напряженное. Получается, что при деформации внутренняя энергия тела увеличивается. Рост внутренней энергии тела заключается в увеличении потенциальной энергии, которая связана со взаимным расположением молекул тела. Если мы имеем дело с упругой деформацией, то после снятия нагрузки, дополнительная энергия исчезает, и за ее счет силы упругости совершают работу. В ходе упругой деформации температура твердых тел существенно не увеличивается. В этом состоит их значительное отличие от газов, которые при сжатии нагреваются. При пластической деформации твердые тела могут значительно увеличивать свою температуру. В повышении температуры, следовательно, кинетической энергии молекул, отражается рост внутренней энергии тела при пластической деформации. При этом увеличение внутренней энергии происходит также за счет работы сил, вызывающих деформацию.

Для того чтобы растянуть или сжать пружину следует выполнить работу ( $A$ ) равную:

$A=\frac{kx^2}{2} \qquad (1)$

где $x$ – величина характеризующая изменение длины пружины (удлинение пружины); $k$ – коэффициент упругости пружины. Данная работа идут на изменение потенциальной энергии пружины ( $E_p$ ):

$E_p=\frac{kx^2}{2}\ \qquad (2)$

При записи выражения (2) считаем, что потенциальная энергия пружины без деформации равна нулю.

Потенциальная энергия упруго деформированного стержня

Потенциальная энергия упруго деформированного стержня при его продольной деформации равна:

$E_p=\frac{E{\varepsilon }^2}{2}V\ \qquad (2)$

где $E$ – модуль Юнга; $\varepsilon$ – относительное удлинение; $V$ – объем стержня. Для однородного стержня при равномерной его деформации плотность энергии упругой деформации можно найти как:

$e_p=\frac{dE_p}{dV}=\frac{E{\varepsilon }^2}{2} \qquad (3)$

Если деформация стержня является неравномерной, то при использовании формулы (3) для поиска энергии в точке стержня в эту формулу подставляют значение $\varepsilon$ для рассматриваемой точки.

Плотность энергии упругой деформации при сдвиге находят, используя выражение:

$e_p=\frac{G{\gamma }^2}{2} \qquad (4)$

где $G$ – модуль сдвига; $\gamma$ – относительный сдвиг.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Камень, имеющий массу $m$ при выстреле из рогатки начал полет со скоростью $v$ . Каков коэффициент упругости резинового шнура рогатки, если при выстреле шнур получил удлинение $\Delta l$ ? Считайте, что изменением сечения шнура можно пренебречь.

Решение

В момент выстрела потенциальная энергия растянутого шнура ( $E_p$ ) переходит в кинетическую энергию камня ( $E_k$ ). По закону сохранения энергии можно записать:

$E_p=E_k \qquad (1.1)$

Потенциальную энергию упругой деформации резинового шнура найдем как:

$E_p=\frac{\beta {\left(\Delta l\right)}^2}{2} \qquad (1.2)$

где $\beta$ – коэффициент упругости резины,

кинетическая энергия камня:

$E_k=\frac{mv^2}{2} \qquad (1.3)$

следовательно

$\frac{\beta {\left(\Delta l\right)}^2}{2}=\frac{mv^2}{2} \qquad (1.4)$

Выразим коэффициент жесткости резины из (1.4):

$\beta =\frac{mv^2}{{\left(\Delta l\right)}^2}$

Ответ

$\beta =\frac{mv^2}{{\left(\Delta l\right)}^2}$

ПРИМЕР 2

Задание

Пружину, имеющую жесткость $k$ , сжимает сила, величина которой равна $F$ . Какова работа ( $A$ ) приложенной силы при дополнительном сжатии этой же пружины еще на $\Delta x$ ?

Решение

Сделаем рисунок.

Работа силы по сжатию пружины равна изменению ее потенциальной энергии:

$A=E_{p2}-E_{p1} \qquad (2.1)$

Будем считать потенциальную энергию не сжатой пружины равной нулю, тогда:

$E_{p1}=\frac{k {(\Delta l)}^2}{2};\ E_{p2}=\frac{k {\left(\Delta l+\Delta x\right)}^2}{2} \qquad \left(2.2\right)$

Используя закон Гука:

$\left|F\right|=\left|F_{upr}\right|=k\Delta l\ \qquad (2.3)$

выразим коэффициент жесткости пружины как:

$k=\frac{F}{\Delta l} \qquad (2.4)$

Используя выражения (2.2) найдем работу силы при дополнительном сжатии пружины:

$A=\frac{k\ {\left(\Delta l+\Delta x\right)}^2}{2}-\frac{k\ {\left(\Delta l\right)}^2}{2}=\frac{k}{2}\left[{\left(\Delta l\right)}^2+2\Delta l\Delta x+{\left(\Delta x\right)}^2-{\left(\Delta l\right)}^2\right]=$

$=\frac{k}{2}\left(2\Delta l\Delta x+{\left(\Delta x\right)}^2\right)=\frac{2F\Delta x+{k\left(\Delta x\right)}^2}{2}$

Ответ

$A=\frac{2F\Delta x+{k\left(\Delta x\right)}^2}{2}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Энергия упругой деформации