Коэффициент линейного расширения

Определение и формула коэффициента линейного расширения

При увеличении температуры происходит расширение твердого тела, которое называют тепловым расширением. Его делят на линейное и объемное тепловое расширение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Коэффициентом линейного расширения называют физическую величину характеризующую изменение линейных размеров твердого тела при изменении его температуры. Оперируют, обычно средним коэффициентом линейного расширения. Обозначают его ${\alpha }_l.$ Коэффициент линейного расширения относят к характеристикам теплового расширения материала.

Допустим, что изначальная длина тела равна $l_0,\ \Delta l$ — его удлинение при увеличении температуры тела на $\Delta T$ , в таком случае ${\alpha }_l$ определен формулой:

${\alpha }_l=\frac{1}{l_0}\frac{\Delta l}{\Delta T}\left(1\right)$

Коэффициент линейного удлинения является характеристикой относительного удлинения ( $\frac{\Delta l}{l_0}$ ), которое происходит при увеличении температуры тела на 1К.

Применение коэффициента линейного расширения

Коэффициент линейного расширения используют для нахождения длины тела ( $l$ ), после нагревания , она считается равной:

$l=l_0\left({\alpha }_l\Delta T+1\right)\left(2\right)$

Формулу (2) можно использовать и для нахождения длины тела при его охлаждении.

Величина ${\alpha }_l$ зависит от вещества, из которого изготовлено тело. В большом количестве случаев ${\alpha }_l\approx {10}^{-5}-{10}^{-6}\frac{1}{K}$ .

Величина ${\alpha }_l$ в общем случае зависит от температуры. Эмпирически установлено, что одно и то же тело при высоких температурах испытывает большее тепловое расширение, чем при низких температурах. Но в большинстве случаев этим пренебрегают и считают, что изменение размеров тела пропорционально температуре.

Для нахождения величины коэффициента линейного расширения измеряют длину стержня ( $l_0$ ) из изучаемого материала. При этом температура стержня поддерживается одинаковой по всей длине. Температуру увеличивают на некоторую величину $\Delta T$ и измеряют удлинение стержня $l-l_0,$ которое вызвало повышение температуры. Для изменения малой величины удлинения применяют, например, микроскоп. При этом один конец стержня закрепляют и в микроскоп наблюдают за перемещением другого конца при нагревании.

Следует отметить, что коэффициент линейного расширения можно считать постоянной величиной, не зависящей от температуры только при небольших изменениях температур. Так, для железа при температуре, равной $t=-200$ ^oC ${\alpha }_l=0,3\cdot {10}^{-5}\frac{1}{K}$ ; при $t=$ 0^oC ${\alpha }_l=1,2\cdot {10}^{-5}\frac{1}{K}$ ; при $\ t=$ 600^oC ${\alpha }_l=1,6\cdot {10}^{-5}\frac{1}{K}$ . Следовательно, формулу (2) применяют для небольшой величины $\Delta T$ , используя значение коэффициента линейного расширения для соответствующего интервала температур.

Единицы измерения

Основной единицей измерения коэффициента линейного расширения в системе СИ является:

$\left[{\alpha }_l\right]=\frac{1}{K}$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Имеются два стержня одинаковой длины при температуре 0^oC. Стержни изготовлены их цинка и железа. При температуре 100^oC их длина отличается на 1 мм. Какова начальная длина стержней?

Формула коэффициента линейного расширения

Рис. 1

Решение

При изменении температуры от 0^oC до 100^oC длины стержней изменяются в соответствии с выражениями:

$l_{Zn}=l_0\left({\alpha }_{lZn}\Delta T+1\right)\left(1.1\right);$

$l_{Fe}=l_0\left({\alpha }_{lFe}\Delta T+1\right)\left(1.2\right)$

где $l_0$ длины каждого из стрежней при температуре 0^o, $l_{Zn}$ — длина стержня из цинка при 100^oC, $l_{Fe}$ — длина стержня из железа при 100^oC. $\Delta T=t_2-t_1=100\ K.$

По условию:

$l_{Zn}-l_{Fe}=d\left(1.3\right)$

Вычтем из (1.1) выражение (1.2), получим:

$l_{Zn}-l_{Fe}=l_0\left({\alpha }_{lZn}\Delta T+1\right)-l_0\left({\alpha }_{lFe}\Delta T+1\right)=d\left(1.4\right)$

Из формулы (1.4) выразим искомую длину $l_0$ , получим:

$l_0=\frac{d}{({\alpha }_{lZn}-{\alpha }_{lFe})\Delta T}$

Значения коэффициентов линейного расширения возьмем для соответствующих материалов из справочных таблиц: ${\alpha }_{lZn}=3\cdot {10}^{-5}K^{-1};\ {\alpha }_{lFe}=1,2\cdot {10}^{-5}K^{-1}.$ Переведем в систему СИ d=1мм= ${10}^{-3}$ м. Проведем вычисления:

$l_0=\frac{{10}^{-3}}{(3-1,2)\cdot {10}^{-5}\cdot 100}\approx 0,555\ \left(m\right)$

Ответ

$l_0=555$ мм

ПРИМЕР 2

Задание

Длина металлического стержня ( ${\alpha }_l=\alpha$ при температуре $T_0=273$ К) при температуре $T_1$ равна $l$ . Каково удлинение этого стержня при температуре $T_2$ .

Решение

В качестве основы для решения задачи используем закон линейного расширения:

$l_1=l_0\left({\alpha }_l\left(T_1-T_0\right)+1\right)\to l_0=\frac{l_1}{{\alpha }_l\left(T_1-T_0\right)+1}\left(2.1\right),$

$l_2=l_0\left({\alpha }_l\left(T_2-T_0\right)+1\right)\left(2.2\right),$

где $l_1$ — длина стержня при его температуре $T_1$ , $l_{12}$ — длина стержня при его температуре $T_2$ . ${\alpha }_l=\alpha$ .

Удлинение стержня можно найти, если из $l_1$ вычесть $l_2$ получим:

$\Delta l=l_0\alpha (T_1-T_2)(2.3)$

Подставим в формулу (2.3) выражение для $l_0$ из (2.1):

$\Delta l=\frac{l_1\alpha \left(T_1-T_2\right)}{\alpha \left(T_1-T_0\right)+1}\left(2.4\right)$

Примем во внимание, что величина ${\alpha }_l\left(T_1-T_0\right)\ll 1$ , зная, что порядок ${\alpha }_l\sim {10}^{-5}K^{-1}.$ Значит, что формулу (2.4) можно преобразовать к виду:

$\Delta l=l_1\alpha \left(T_1-T_2\right)\left(1-\ \alpha \left(T_1-T_0\right)\right)$