Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Площадь разностороннего треугольника

Площадь разностороннего треугольника можно вычислить разными способами в зависимости от исходных данных:

Все формулы площади разностороннего треугольника

1. По высоте и основанию

    \[S=\frac{1}{2} a\cdot h\]

Площадь разностороннего треугольника по высоте и основанию

2. По двум сторонам и углу между ними

    \[S=\frac{1}{2} a\cdot b\cdot \sin \alpha \]

Площадь разностороннего треугольника по двум сторонам и углу между ними

3. По формуле Герона

    \[S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

где p – полупериметр треугольника

Площадь разностороннего треугольника по формуле Герона

4. Через радиусы вписанной и описанной окружностей

Площадь разностороннего треугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей

    \[S=rp,\]

где p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной окружности;

    \[S=\frac{abc}{4R} ,\]

R – радиус описанной окружности.

Площадь разностороннего треугольника

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти площадь треугольника ABC, если AB=3 см, \angle A=30^{\circ},\ \angle C=120^{\circ}.
Решение Запишем для треугольника ABC теорему синусов:

    \[\frac{BC}{\sin \angle A} =\frac{AC}{\sin \angle B} =\frac{AB}{\sin \angle C} \]

В первое равенство подставим известные из условия задачи данные:

    \[\frac{BC}{\sin 30^{\circ}} =\frac{3}{\sin 120^{\circ}} \]

или

    \[\frac{BC}{1/2} =\frac{3}{\sqrt{3}/2} \]

откуда BC=\sqrt{3} см. Найдем величину угла B (по теореме о сумме углов треугольника):

    \[\angle B=180^{\circ} -30^{\circ} -120^{\circ} =30^{\circ} \]

Тогда искомая площадь

    \[S=\frac{1}{2} AB\cdot BC\cdot \sin \angle B=\frac{1}{2} \cdot 3\cdot \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} =\frac{3\sqrt{3}}{4} cm ^{2} \]

Ответ S=\frac{3\sqrt{3}}{4} см ^{2}
ПРИМЕР 2
Задание В треугольнике ABC сторона AB=5 см, BC=4\sqrt{2} см, а высота BK=4 см. Найти площадь треугольника ABC.
Решение В треугольнике ABC из вершины B проведем высоту BK. Из прямоугольного треугольника ABK по теореме Пифагора найдем, что

    \[AK=\sqrt{AB^{2} -BK^{2}} =\sqrt{25-16} =\sqrt{9} =3 cm ,\]

а из прямоугольного треугольника CBK имеем, что

    \[CK=\sqrt{BC^{2} -BK^{2}} =\sqrt{32-16} =\sqrt{16} =4 cm \]

Тогда сторона

    \[AC=AK+KC=7 cm ,\]

а площадь треугольника ABC соответственно

    \[S=\frac{1}{2} AC\cdot BK=\frac{1}{2} \cdot 7\cdot 4=14 cm ^{2} \]

Ответ S=14 см ^{2}