Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Формулы прямоугольного треугольника

Определение и формулы прямоугольного треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если один из углов треугольника прямой (то есть равен {90}^\circ), то треугольник называется прямоугольным.
Формулы прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике ABC с \angle C=90^{\circ} ,\ \angle A=\alpha, гипотенузой AB=c и катетами AC=b и BC=a

    \[\sin \alpha =\frac{BC}{AB} =\frac{a}{c} ,\ \cos \alpha =\frac{AC}{AB} =\frac{b}{c} ,\]

    \[ \text{tg}\alpha =\frac{BC}{AC} =\frac{a}{b} ,\ \text{ctg}\alpha =\frac{AC}{BC} =\frac{b}{a} \]

Теорема Пифагора:

    \[AC^{2} +BC^{2} =AB^{2} \Leftrightarrow a^{2} +b^{2} =c^{2} \]

Площадь прямоугольного треугольника:

    \[S=\frac{1}{2} ab\]

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник

    \[r=\frac{a+b-c}{2} \]

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника

    \[R=\frac{c}{2} \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В прямоугольном треугольнике с катетом 6 см и прилежащим к нему острым углом 60^{\circ} найти периметр и площадь.
Решение Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC\ (\angle C=90^{\circ} ). Пусть катет CB=6 см и \angle B=60^{\circ}. Найдем длину гипотенузы AB:

    \[AB=\frac{CB}{\cos 60^{\circ}} =\frac{6}{1/2} =12 cm \]

Тогда по теореме Пифагора второй катет

    \[AC=\sqrt{AB^{2} -CB^{2}} =\sqrt{144-36} =\sqrt{108} =6\sqrt{3} cm \]

Найдем периметр и площадь треугольника

    \[ P=AC+CB+AB=12+6+6\sqrt{3} =(18+6\sqrt{3} ) cm ,\]

    \[S=\frac{AC\cdot CB}{2} =\frac{6\sqrt{3} \cdot 6}{2} =18\sqrt{3} cm ^{2} \]

Ответ P=(18+6\sqrt{3} ) см, S=18\sqrt{3} см ^{2}
ПРИМЕР 2
Задание В прямоугольном треугольнике известно, что радиус описанной окружности R=6,5 см, а радиус вписанной окружности r=2 см. Найти стороны треугольника.
Решение Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a,b и гипотенузой c. Поскольку радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, то

    \[c=2R=13 cm \]

Подставим в формулу для радиуса вписанной окружности известные данные:

    \[r=\frac{a+b-c}{2} =\frac{a+b-13}{2} =2,\]

откуда a+b=17, а тогда a=17-b. Воспользуемся теоремой Пифагора:

    \[c^{2} =a^{2} +b^{2} \]

    \[13^{2} =(17-b)^{2} +b^{2} \]

Решая квадратное уравнение 2b^{2} -34b+120=0, получим b_{1} =12 и b_{2} =5. Тогда a_{1} =5,\ a_{2} =12.

Ответ 5 см, 12 см, 13 см