Площадь равнобедренного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника $ABC$ (рис 1) с боковой стороной $a$ и основанием $b$ можно вычислить, используя следующие формулы:

1. Полупроизведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

или

2. Площадь равна квадрату боковой стороны на синус угла при вершине:

$S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} a^{2} \cdot \sin \angle B$

3. Так как полупериметр равнобедренного треугольника равен

$p = \frac{a+a+b}{2} = a + \frac{b}{2}$

то в этом случае формула Герона примет вид:

$S_{\Delta ABC} = \frac{b}{2} \sqrt{\left( a^{2} - \frac{b^{2}}{4} \right) }$

4. Через радиус описанной окружности:

$S_{\Delta ABC} = \frac{a^{2}b}{4R}$

где $R$ – радиус описанной окружности.

5. Через радиус вписанной окружности и полупериметр:

$S_{\Delta ABC} = \left( a + \frac{b}{2} \right) r$

где $r$ – радиус вписанной окружности.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Найти площадь равнобедренного треугольника, у которого боковая сторона равна $4 \sqrt{2}$ , а угол между боковыми сторонами равен $30 ^\circ$ .

Решение

Обозначим боковые стороны заданного треугольника $a$ , а угол между боковыми сторонами $\beta = 30 ^\circ$ . По условию задачи $a = 4 \sqrt{2}$ . Для вычисления площади заданного равнобедренного треугольника воспользуемся формулой

$S = \frac{1}{2} a^{2} \cdot \sin \beta$

Подставляя исходные данные задачи, получим

(см $^{2}$ )

Ответ

$S = 8$ см $^{2}$

ПРИМЕР 2

Задание

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота, проведенная к боковой стороне, делит её на отрезки 8 см и 2 см, начиная от вершины угла между боковыми сторонами. Найти площадь треугольника.

Решение

Сделаем рисунок (рис. 2).