Площадь равнобедренного треугольника
Площадь равнобедренного треугольника (рис 1) с боковой стороной и основанием можно вычислить, используя следующие формулы:
1. Полупроизведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне:
или
2. Площадь равна квадрату боковой стороны на синус угла при вершине:
3. Так как полупериметр равнобедренного треугольника равен
то в этом случае формула Герона примет вид:
4. Через радиус описанной окружности:
где – радиус описанной окружности.
5. Через радиус вписанной окружности и полупериметр:
где – радиус вписанной окружности.
Примеры решения задач
Задание | Найти площадь равнобедренного треугольника, у которого боковая сторона равна , а угол между боковыми сторонами равен . |
Решение | Обозначим боковые стороны заданного треугольника , а угол между боковыми сторонами . По условию задачи . Для вычисления площади заданного равнобедренного треугольника воспользуемся формулой
Подставляя исходные данные задачи, получим (см) |
Ответ | см |
Задание | В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к боковой стороне, делит её на отрезки 8 см и 2 см, начиная от вершины угла между боковыми сторонами. Найти площадь треугольника. |
Решение | Сделаем рисунок (рис. 2).
По условию задачи см, см. Тогда боковая сторона будет равна: (см) Из треугольника , который является прямоугольным, найдем высоту . По теореме Пифагора
, как боковые стороны равнобедренного треугольника . Тогда подставляя и , получим (см) Для нахождения площади заданного треугольника воспользуемся формулой
которая в нашем случае перепишется в виде
Подставляя в последнее равенство значения и , окончательно получим (см) |
Ответ | см |