Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Площадь равнобедренного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника ABC (рис 1) с боковой стороной a и основанием b можно вычислить, используя следующие формулы:

1. Полупроизведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

   или   

2. Площадь равна квадрату боковой стороны на синус угла при вершине:

    \[    S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} a^{2} \cdot \sin \angle B \]

3. Так как полупериметр равнобедренного треугольника равен

    \[    p = \frac{a+a+b}{2} = a + \frac{b}{2} \]

то в этом случае формула Герона примет вид:

    \[    S_{\Delta ABC} = \frac{b}{2} \sqrt{\left( a^{2} - \frac{b^{2}}{4} \right) } \]

4. Через радиус описанной окружности:

    \[    S_{\Delta ABC} = \frac{a^{2}b}{4R} \]

где R – радиус описанной окружности.

5. Через радиус вписанной окружности и полупериметр:

    \[    S_{\Delta ABC} = \left( a + \frac{b}{2} \right) r \]

где r – радиус вписанной окружности.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти площадь равнобедренного треугольника, у которого боковая сторона равна 4 \sqrt{2}, а угол между боковыми сторонами равен 30 ^\circ.
Решение Обозначим боковые стороны заданного треугольника a, а угол между боковыми сторонами \beta = 30 ^\circ. По условию задачи a = 4 \sqrt{2}. Для вычисления площади заданного равнобедренного треугольника воспользуемся формулой

    \[    S = \frac{1}{2} a^{2} \cdot \sin \beta \]

Подставляя исходные данные задачи, получим

(см ^{2})

Ответ S = 8 см ^{2}
ПРИМЕР 2
Задание В равнобедренном треугольнике ABC высота, проведенная к боковой стороне, делит её на отрезки 8 см и 2 см, начиная от вершины угла между боковыми сторонами. Найти площадь треугольника.
Решение Сделаем рисунок (рис. 2).

По условию задачи AD = 2 см, BD = 8 см. Тогда боковая сторона будет равна:

AB = AD + BD = 2 + 8 = 10 (см)

Из треугольника BDC, который является прямоугольным, найдем высоту CD. По теореме Пифагора

    \[    CD = \sqrt{BC^{2}-BD^{2}} \]

BC = AB, как боковые стороны равнобедренного треугольника ABC. Тогда подставляя BC = 10 и BD = 8, получим

CD = \sqrt{10^{2}-8^{2}} = \sqrt{100-64} = \sqrt{36} = 6 (см)

Для нахождения площади заданного треугольника воспользуемся формулой

    \[    S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} a \cdot h_{a} \]

которая в нашем случае перепишется в виде

    \[    S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot CD \]

Подставляя в последнее равенство значения AB = 10 и CD = 6, окончательно получим

(см ^{2})

Ответ S_{\Delta ABC} = 30 см ^{2}