Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Формула дифракционной решетки

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Дифракционная решетка – это простейший спектральный прибор, состоящий из системы щелей (прозрачных для света участков), и непрозрачных промежутков, которые сравнимы с длиной волны.

Одномерная дифракционная решетка, состоит из параллельных щелей одинаковой ширины, которые лежат в одной плоскости, разделяемых одинаковыми по ширине непрозрачными для света промежутками. Лучшими считаются отражательные дифракционные решетки. Они состоят из совокупности участков, отражающих свет и участков, которые свет рассеивают. Данные решетки представляют собой отшлифованные металлические пластины, на которые рассеивающие свет штрихи нанесены резцом.

Картиной дифракции на решетке — является результат взаимной интерференции волн, идущих ото всех щелей. С помощью дифракционной решетки реализуется многолучевая интерференция когерентных пучков света, подвергшихся дифракции и которые идут от всех щелей.

Характеристикой дифракционной решетки служит ее период. Периодом дифракционной решетки (d) (ее постоянной) называют величину, равную:

    \[d=a+b\ \qquad(1)\]

где a — ширина щели; b — ширина непрозрачного участка.

Дифракция на одномерной дифракционной решетке

Допустим, что перпендикулярно к плоскости дифракционной решетки падает световая волна с длиной \lambda. Так как щели у решетки расположены на равных расстояниях друг от друга, то разности хода лучей (\Delta), идущих от двух соседних щелей, для направления \varphi будут одинаковы для всей рассматриваемой дифракционной решетки:

    \[\Delta =d{\sin \varphi }  \qquad (2)\]

Главные минимумы интенсивности наблюдаются в направлениях, определенных условием:

    \[a\sin \varphi =\pm k\lambda \ (k=1,2,3\dots )}  \qquad (3)\]

Кроме главных минимумов, в результате взаимной интерференции лучей света, которые идут от двух щелей, в некоторых направлениях лучи гасят друг друга. В результате возникают дополнительные минимумы интенсивности. Они появляются в тех направлениях, где разность хода лучей составляют нечетное число полуволн. Условием дополнительных минимумов является формула:

    \[d{\sin \varphi =\pm k'\frac{\lambda}{N}\qquad \left(k'=1,2,\dots ,N-1,N+1,\dots ,2N-1,2N+1,\dots \right)} \qquad (4)\]

где N – количество щелей дифракционной решетки; k^' — целые значения кроме 0, N,\ 2N,... В том случае, если решетка имеет N щелей, то между двумя главными максимумами находятся N-1 дополнительный минимум, которые разделяют вторичные максимумы.

Условием главных максимумов для дифракционной решетки является:

    \[d{\sin \varphi =\pm m\lambda (m=0,1,2,\dots )} \qquad (5)\]

Величина синуса не может быть больше единицы, то количество главных максимумов:

    \[m\le \frac{d}{\lambda } \qquad(6)\]

Примеры решения задач по теме «Дифракционная решетка»

ПРИМЕР 1
Задание На дифракционную решетку, перпендикулярно ее поверхности падает монохроматический пучок света с длиной волны \lambda. На плоский экран картина дифракции проецируется при помощи линзы. Расстояние между двумя максимумами интенсивности первого порядка составляет l. Какова постоянная дифракционной решетки, если линза размещена в непосредственной близости от решетки и расстояние от нее до экрана равно L. Считайте, что \frac{l}{2}\ll L.
Решение В качестве основы для решения задачи используем формулу, которая связывает постоянную дифракционной решетки, длину волны света и угол отклонения лучей, который соответствует дифракционному максимуму номер m:

    \[d{\sin \varphi =m\lambda (m=0,1,2,\dots )} \qquad (1.1)\]

По условию задачи m=1. Так как угол отклонения лучей можно считать малым (\frac{l}{2}\ll L), то примем, что:

    \[tg\ \varphi \approx {\sin \varphi }  \qquad(1.2)\]

Из рис.1 следует, что:

    \[tg\ \varphi =\frac{l}{2}:L=\frac{l}{2L} \qquad(1.3)\]

Подставим в формулу (1.1) выражение (1.3) и учтем, что m=1, получим:

    \[d\frac{l}{2L}=\lambda \  \qquad(1.4)\]

Из (1.4) выразим период решетки:

    \[d=\frac{2L\lambda }{l}\]

Ответ d=\frac{2L\lambda }{l}
ПРИМЕР 2
Задание Используя условия примера 1, и результат решения, найдите количество максимумов, которое даст рассматриваемая решетка.
Решение Для того чтобы определить максимальный угол отклонения лучей света в нашей задаче найдем число максимумов, которое может дать наша дифракционная решетка. Для этого используем формулу:

    \[d{\sin \varphi =m\lambda \left(m=0,1,2,\dots \right)} \qquad (2.1)\]

где положим, что m=\ m_{max} при {\sin \varphi =1}. Тогда, получим:

    \[m_{max}=\frac{d}{\lambda }\  \qquad(2.2)\]

Следует учесть при вычислениях, что число m_{max} обязательно целое и синус угла \varphi обязательно меньше единицы. При этом общее количество максимумов картины дифракции справа и слава от центрального максимума одинаково и равно:

    \[{m'}_{max}=2m_{max}=2\frac{d}{\lambda }\  \qquad(2.3)\]

Необходимо учесть центральный максимум, поэтому суммарное число максимумов равно:

    \[N=2m_{max}+1=2\frac{d}{\lambda }+1\  \qquad(2.4)\]

В предыдущем примере было получено:

    \[d=\frac{2L\lambda }{l} \qquad(2.5)\]

Следовательно получим, что искомая величина:

    \[N=\frac{4L}{l}+1\ \]

Ответ N=\frac{4L}{l}+1\