Дифракционная решетка

Определение и основные сведения о дифракционной решетке

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Дифракционной решеткой называют спектральный прибор, который является системой некоторого количества щелей, разделенных непрозрачными промежутками.

Очень часто на практике используют одномерную дифракционную решетку, состоящую из параллельных щелей одинаковой ширины, находящихся в одной плоскости, которые разделяют равными по ширине непрозрачными промежутками. Такую решетку изготавливают при помощи специальной делительной машины, которая наносит на пластине из стекла параллельные штрихи. Количество таких штрихов может быть более чем тысяча на один миллиметр.

Лучшими считаются отражательные дифракционные решетки. Это совокупность участков, которые отражают свет с участками, которые свет отражают. Такие решетки представляют собой отшлифованную металлическую пластину, на которой рассеивающие свет штрихи нанесены резцом.

Картина дифракции на решетке — это результат взаимной интерференции волн, которые идут ото всех щелей. Следовательно, при помощи дифракционной решетки реализуется многолучевая интерференция когерентных пучков света, которые подверглись дифракции и которые идут от всех щелей.

Допустим, что на дифракционной решетке ширина щели будет a, ширина непрозрачного участка — b, тогда величина:

$d=a+b \qquad (1),$

называется периодом (постоянной) дифракционной решетки.

Картина дифракции на одномерной дифракционной решетке

Представим, что нормально к плоскости дифракционной решетки падает монохроматическая волна. Вследствие того, что щели расположены на равных расстояниях друг от друга, то разности хода лучей ( $\Delta$ ), которые идут от пары соседних щелей, для избранного направления $\varphi$ будут одинаковы для всей данной дифракционной решетки:

$\Delta =d{\sin \varphi} \qquad (2)$

Главные минимумы интенсивности наблюдаются в направлениях, определенных условием:

$a{\sin \varphi =\pm k\lambda \ (k=1,2,3\dots )} \qquad (3)$

Помимо главных минимумов, в результате взаимной интерференции лучей света, которые посылает пара щелей, в некоторых направлениях они гасят друг друга, это значит, что появляются дополнительные минимумы. Они возникают в направлениях, где разность хода лучей составляют нечетное число полуволн. Условие дополнительных минимумов записывают как:

$d{\sin \varphi =\pm k'\frac{\lambda} {N}\left(k'=1,2,\dots ,N-1,N+1,\dots ,2N-1,2N+1,\dots \right)} \qquad (4)$

где N – число щелей дифракционной решетки; k’ принимает любые целые значения кроме 0, $N,\ 2N,..$ . Если решетка имеет N щелей, то между двумя главными максимумами находятся $N-1$ дополнительный минимум, которые разделяют вторичные максимумы.

Условием главных максимумов для дифракционной решетки служит выражение:

$d{\sin \varphi =\pm m\lambda (m=0,1,2,\dots )} \qquad (5)$

Так как величина синуса не может быть больше единицы, то количество главных максимумов:

$m\le \frac{d}{\lambda} \qquad (6)$

Если через решетку пропускать белый свет, то все максимумы (кроме центрального m=0), будут разложены в спектр. При этом фиолетовая область данного спектра будет обращена к центру картины дифракции. Данное свойство дифракционной решетки применяется для изучения состава спектра света. Если известен период решетки, то вычисление длины волны света можно свести к нахождению угла $\varphi$ , который соответствует направлению на максимум.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Каков максимальный порядок спектра, который можно получить при помощи дифракционной решетки с постоянной $d=2\cdot {10}^{-6}$ м, если на нее перпендикулярно поверхности падает монохроматический пучок света с длиной волны $\lambda =6\cdot {10}^{-7}$ м?

Решение

В качестве основы для решения задачи используем формулу, которая является условием наблюдения главных максимумов для дифракционной картины, полученной при прохождении света сквозь дифракционную решетку:

$d{\sin \varphi =\pm m\lambda (m=0,1,2,\dots )} \qquad (1.1)$

Максимальным значением ${\sin \varphi}$ является единица, поэтому:

$d=m_{max}\lambda \qquad (1.2)$

Из (1.2) выразим $m_{max}$ , получим:

$m_{max}=\frac{d}{\lambda}$

Проведем вычисления:

$m_{max}=\frac{2\cdot {10}^{-6}}{6\cdot {10}^{-7}}=3$

Ответ

$m_{max}=3$

ПРИМЕР 2

Задание

Через дифракционную решетку пропускают монохроматический свет с длиной волны $\lambda$ . На расстоянии L от решетки поставлен экран. На него при помощи линзы, находящейся около решетки, создают проекцию дифракционной картины. При этом первый максимум дифракции находится на расстоянии l от центрального. Каково количество штрихов на единицу длины дифракционной решетки (N), если свет падает на нее нормально?